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系统的数学模型
系统方程的算子表示法
零输入响应
冲激响应
卷积积分与零状态响应
202X
第二章 连续系统的时域分析
§1 引言
01.
第二章第1讲
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02.
常系数线性微分方程的求解
时域法
直接求解
卷积法
变换域法
傅里叶变换法（频域分析法）
拉普拉斯变换法（复频域分析法）
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Contents.
建立数学模型
例：写出图示电路的微分方程。
根据KVL有 L R
+
e（t） C
根据各元件端电压与电流的关系 - i（t）￬
整理后代入KVL式，得
第二章第1讲
第二章第1讲
例
列出电路的微分方程，变量为 i2。
解：微分方程为：
01.
项目背景
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02.
项目概况
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Contents.
描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型
一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述：
第二章第1讲
n阶常系数微分方程的求解法
全响应=
齐次方程通解+非齐次方程通解
（自由响应）（受迫响应）
全响应=
零输入响应+零状态响应
（解齐次方程）（叠加积分法）
卷积，杜阿美尔积分
时域分析法
变换域法
（第五章拉普拉斯变换法）
微分方程求解
经典法
积分法
第二章第1讲
经典法
经典法的不足之处
微分方程的解由两部分组成。一部分是与该方程相应的齐次方程（即令方程式右边为零）的通解，称为齐次解；另一部分是满足此非齐次方程的特解，称为特解。齐次解的形式由齐次方程的特征根确定，特解的形式由方程式右边激励函数的形式确定。作为系统的响应来说，齐次解部分是自然响应，特解部分是受迫响应。
（1）若微分方程式右边激励信号较复杂，则难以处理。
（2）若激励信号发生变化，则须重新求解。
（3）若初始条件发生变化，则须重新求解 。
（4）这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。
经典法求解过程
第二章第1讲
积分法
卷积法分析思路
系统的响应划分为零输入响应和零状态响应。
（1）将激励信号分解为单位冲激信号的线性组合 ；
（2）求出单位冲激信号作用在系统上的响应 — 冲激响应 ；
（3）利用线性时不变系统的特性，即可求出激励信号作用下系统的零状态响应 。
零输入响应：是指输入激励为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。
根据齐次方程的特征根确定零输入响应的形式；再由初始条件确定其中的待定系数。
零状态响应：指系统的初始状态为零，仅由系统的输入激励单独作用而产生的输出响应。
（1）直接求解初始状态为零的非齐次方程。
（2）积分法
①卷积积分：将函数分解为一系列脉冲函数；
②杜阿梅尔积分：将函数分解为一系列阶梯形函数。
求解过程
第二章第1讲
§2 系统方程的算子表示法
定义
则：
对于算子方程：
其含义是：
第二章第1讲
微分算子的主要特性
微分算子不是代数方程，而是算子记法的微积分方程。式中算子与变量不是相乘，而是一种变换。
Ｐ多项式的算子可以像代数量那样进行乘法运算，也可以像代数式那样进行因式分解的运算。
算子方程两边的公共因子一般不允许消去。
如：
但：
但在某种情况下公共因子可以消去，如：
但
简单的如：
但
第二章第1讲