文档介绍：难点24 直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能.
●难点磁场
(★★★★★)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆方程.
●案例探究
[例1]如图所示,抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积.
命题意图:直线与圆锥曲线相交,——“韦达定理法”.属★★★★★级题目.
知识依托:弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想.
错解分析:将直线方程代入抛物线方程后,.
技巧与方法:涉及弦长问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,涉及垂直关系往往也是利用韦达定理,设而不求简化运算.
解:由题意,可设l的方程为y=x+m,-5<m<0.
由方程组,消去y,得x2+(2m-4)x+m2=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,
∴方程①的判别式Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0,
解得m<1,又-5<m<0,∴m的范围为(-5,0)
设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,
∴|MN|=4.
点A到直线l的距离为d=.
∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1-m)(5+m)2
=2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.
∴S△≤8,当且仅当2-2m=5+m,即m=-1时取等号.
故直线l的方程为y=x-1,△AMN的最大面积为8.
[例2]已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2)
(1)求过P(1,2)点的直线l的斜率取值范围,使l与C分别有一个交点,两个交点,没有交点.
(2)若Q(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在.
命题意图:第一问考查直线与双曲线交点个数问题,——“差分法”,属★★★★★级题目.
知识依托:二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式.
错解分析:第一问,求二次方程根的个数,,算得以Q为中点弦的斜率为2,就认为所求直线存在了.
技巧与方法:涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率,弦的中点坐标联系起来,相互转化.
解:(1)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,,设直线l的方程为y-2=k(x-1),代入C的方程,并整理得
(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 (*)
(ⅰ)当2-k2=0,即k=±时,方程(*)有一个根,l与C有一个交点
(ⅱ)当2-k2≠0,即k≠±时
Δ=[2(k2