文档介绍：2007年高考数学试题分类汇编圆锥曲线
重庆文
(12)已知以F1(2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为
(A) (B) (C) (D)
(21)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)
如题(21)图,倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。
题(21)图
(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;
(Ⅱ)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。
(21)(本小题12分)
(Ⅰ)解:设抛物线的标准方程为,则,从而
因此焦点的坐标为(2,0).
又准线方程的一般式为。
从而所求准线l的方程为。
答(21)图
(Ⅱ)解法一:如图(21)图作AC⊥l,BD⊥l,垂足为C、D,则由抛物线的定义知
|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.
记A、B的横坐标分别为xxxz,则
|FA|=|AC|=解得,
类似地有,解得。
记直线m与AB的交点为E,则
所以。
故。
解法二:设,,直线AB的斜率为,则直线方程为。
将此式代入,得,故。
记直线m与AB的交点为,则
,
,
故直线m的方程为.
令y=0,得P的横坐标故
。
从而为定值。
重庆理
(16)过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线,交双曲线于PQ两点,则|FP||FQ|的值为__________.
(22) (本小题满分12分)如图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为:x = 12。
(1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆上任取三个不同点,使,证明
为定值,并求此定值。
浙江文
(10)已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,P是准线上一点,且P F1⊥P F2,|P F1||P F2 |=4ab,则双曲线的离心率是
(A) (B) (C)2 (D)3
(21)(本题15分)如图,直线y=kx+b与椭圆交于A、B两点,记△AOB的面积为S.
(I)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;
(Ⅱ)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.
(21)本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识,.
(I)解:设点A的坐标为(,点B的坐标为,
由,解得
所以
当且仅当时,.S取到最大值1.
(Ⅱ)解:由得
①
|AB|= ②
又因为O到AB的距离所以③
③代入②并整理,得
解得,,代入①式检验,△>0
故直线AB的方程是
或或或.
浙江理
(9)已知双曲线的左、右焦点分别为,,是准线上一点,且,,则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
天津文
(7)设双曲线的离心率为,且它的一条准线与抛物线的准线重合,则此双曲线的方程为( )
A. B.
C. D.
(22)(本小题满分14分)
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点,,原点到直线的距离为.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)求使得下述命题成立:设圆上任意点处的切线交椭圆于,两点,则.
(22)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、.
(Ⅰ)证法一:由题设及,,不妨设点,其中
,由于点在椭圆上,有,
,
解得,从而得到,
直线的方程为,整理得
.
由题设,原点到直线的距离为,即
,
将代入原式并化简得,即.
证法二:同证法一,得到点的坐标为,
过点作,垂足为,易知,故
由椭圆定义得,又,所以
,
解得,而,得,即.
(Ⅱ)解法一:圆上的任意点处的切线方程为.
当时,圆上的任意点都在椭圆内,故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和,因此点,的坐标是方程组
,由①式得
代入②式,得,即
,
于是,
.
若,则
.
所以,.由,.
当时,必有,同理求得在区间内的解为.
另一方面,当时,可推出,从而.
综上所述,使得所述命题成立.
天津理
22.(本小题满分14分)
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点,,原点到直线的距离为.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)设为椭圆上的两个动点,,过原点作直线的垂线,垂足为,求点的轨迹方程.
、直线方程、求曲线的方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、.
(Ⅰ)证法一:由题设及,,不妨设点,,有,即.
解得,从而得到.
直