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答辩学生：XXX 指导老师：XXX
DEFENCE
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许多物理现象都具有叠加性：由几种不同原因同时出现时所产生的效果，等于各个原因单独出现时所产生的效果的叠加，这就是物理学中的叠加原理。
在解决数学中的线性问题时，可应用物理学中的叠加原理。
分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形也称为驻波法。它是解决数学物理方程定解问题中的一中基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动和电磁振动（总可分解为一些简谐振动的叠加）
1
2
3
分离变量法
波动方程
有界弦的自由振动
热传导方程
椭圆方程
一维情形
高维情形
有界弦的强迫振动
齐次方程
非齐次方程
周期性条件
自然边界条件
一维情形
高维情形
1. 有界弦的自由振动
()
()
()
()
首先设法找到所有具有变量分离形式的满足方程（）和边界条件（）的非零特解。这些非零特解的线性叠加仍满足方程和边界条件。
所谓函数 u(x,t) 具有变量分离形式，即它可表示为
()
(I)
将（）代入方程（）和边界条件（）得到
即
以及
()
()
()式中，左端是t的函数，右端是x的函数，由此可得只能是常数，记为 。从而有
()
()
()
(II)
01
()
02
()
03
情形（A）
04
情形（B）
05
其通解为
06
由()，可推出
07
只有零解。
08
其通解为
09
由()，可推出
10
只有零解。
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本征值问题
情形（C）
方程的通解为
由边界条件X(0) = 0推出
再由
知道为了使
必须
于是有
这样就找到了一族非零解
本征值
本征函数
()
()
由此，就得到方程（）满足边界条件（）的变量分离的非零特解
代入()可得
()
其通解为
特解的叠加
(III)
为了求出原定解问题的解，还需满足初始条件（）。
一般来讲，前面求出的特解不一定满足初始条件。
为此，我们把所有特解 叠加起来，并使之满足初始条件，即取
使得
()
()
()
()
01
02
03
正弦展开的Fourier级数的系数，即
因此，
这样，我们就给出了混合问题（）-（）的形式解（），其中系数由公式（）和（）给出。
应分别是
()
在[0, L]区间上