文档介绍：该【人教第8章 立体几何 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 】是由【1905133****】上传分享，文档一共【22】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【人教第8章 立体几何 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
考试要求 、平面位置关系的定义；；、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
、直线、平面之间的位置关系
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言
符号语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形语言
符号语言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
独有关系
图形语言
符号语言
a，b是异面直线
a⊂α
(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.
：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )
(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.
(4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误.
，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )
° °
° °
答案 C
解析 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.
，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
、平行或异面
答案 D
解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.
，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
答案 D
解析 ∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根据公理3可知，M在γ与β的交线上.
同理可知，点C也在γ与β的交线上.
5.(2021·日照调研)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
，l2都不相交
，l2都相交
，l2中的一条相交
，l2中的一条相交
答案 D
解析 由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，，l2中的一条相交.
，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形.
答案 (1)AC＝BD
(2)AC＝BD且AC⊥BD
解析 (1)∵四边形EFGH为菱形，
∴EF＝EH，∵EF綉AC，EH綉BD，
∴AC＝BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形，
∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF綉AC，EH綉BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD.
考点一 平面的基本性质及应用
例1 如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.
证明 (1)∵EF是△D1B1C1的中位线，
∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.
∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.
(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1，∴Q∈α.
又Q∈EF，∴Q∈β，
则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，
∴α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.
∴R∈α，且R∈β，
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
感悟提升 共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
训练1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
证明 因为K∈EH，EH⊂平面ABD，
所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，
因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
考点二 空间两直线的位置关系
例2 (1)(2022·全国名校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，有下列四个结论：
①AP与CM是异面直线；②AP，CM，DD1相交于一点；③MN∥BD1；④MN∥( )
A.①④ B.②④
C.①③④ D.②③④
(2)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
＝EN，且直线BM，EN是相交直线
≠EN，且直线BM，EN是相交直线
＝EN，且直线BM，EN是异面直线
≠EN，且直线BM，EN是异面直线
答案 (1)B (2)B
解析 (1)连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，
又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1，
所以AP，CM，DD1相交于一点，则①不正确，②正确.
③令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.
因为M，N分别是C1D1，BC的中点，
所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝CD，
则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，
因为MN⊄平面BD1D，OD1⊂平面BD1D，
所以MN∥平面BD1D，③不正确，④正确.
综上所述，②④正确.
(2)取CD的中点O，连接ON，EO，
因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，
又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，EO⊂平面ECD，
所以EO⊥平面ABCD.
设正方形ABCD的边长为2，
则EO＝，ON＝1，
所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.
过M作CD的垂线，交CD于点P，连接BP，
则MP＝，CP＝，
所以BM2＝MP2＋BP2＝＋＋22＝7，得BM＝，
所以BM≠EN.
连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，故选B.
感悟提升 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
训练2 (1)已知空间三条直线l，m，n，若l与m垂直，l与n垂直，则( )
、相交、异面均有可能
(2)(2021·宜宾质检)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法错误的是( )
∥平面PBC
∥AC
⊥PB
答案 (1)D (2)C
解析 (1)因为m⊥l，n⊥l，结合长方体模型可知m与n可以相交，也可以异面，还可以平行.
(2)如图所示，取PB的中点H，连接MH，HC，
由题意知，四边形MHCN为平行四边形，且MN∥HC，又HC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC，设四边形MHCN确定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P∉平面α，D∉MN，因此MN与PD是异面直线；故A，B说法均正确.
若MN∥AC，由于CH∥MN，则CH∥AC，
事实上AC∩CH＝C，
C说法不正确；
因为PC＝BC，H为PB的中点，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D说法正确.
考点三 异面直线所成的角
例3 (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
(2)
(2021·衡水检测)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
答案 (1)C (2)D
解析 (1)如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角或其补角.
因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，
AD1＝＝2，
DM＝＝，
DB1＝＝.
所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，
于是在△DMO中，由余弦定理，
得cos∠MOD＝＝.
故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
(2)如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角.
∵SE＝SB，∴SE＝BE.
又OB＝3，∴OF＝OB＝1.
∵SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴SC＝3.
∵SO⊥OF，∴SF＝＝.
∵OC⊥OF，∴CF＝.
∴在等腰△SCF中，
tan∠CSF＝＝.
感悟提升 综合法求异面直线所成角的步骤：
(1)作：通过作平行线得到相交直线.
(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角).
(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
训练3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A. B. C. D.
(2)(2021·湖北重点高中联考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA1＝，则异面直线A1C与AD所成角的大小为( )
° ° ° °
答案 (1)D (2)C
解析 (1)如图，连接C1P，