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考试要求 ，，.
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.
(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.
2.(2021·湖州二模)在边长为3的等边三角形ABC中，＝，则·＝( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵＝，∴＝，
∴·＝·＝||||cos ＝×3×3×＝.
3.(多选)(2021·青岛统检)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则( )
A.|a|＝|b| ⊥c
∥c ＝135°
答案 BD
解析 由a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，得a＝(－1，1)，b＝(2，0)，则|a|＝，|b|＝2，故A不正确；
a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正确；
不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正确；
cos θ＝＝＝－，所以θ＝135°，.
4.(2021·衡阳一模)非零向量a，b，c满足a·b＝a·c，a与b的夹角为，|b|＝4，则c在a上的投影向量的长度为( )
答案 B
解析 由a·b＝a·c，
可得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|cos〈a，c〉，
因为|a|≠0，
所以|c|cos〈a，c〉＝|b|cos〈a，b〉＝4×cos ＝2，
所以c在a上的投影向量的长度为
||c|cos〈a，c〉|＝2.
5.(易错题)已知a，b为非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的( )
答案 B
解析 根据向量数量积的定义可知，若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b＞0，所以“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.
6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
答案
解析 法一 a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，
∵(a－λb)⊥b，
∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝.
法二 由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝＝＝＝.
考点一 数量积的计算
例1 (1)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
答案 －1
解析 如图，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2.
则·＝(－)·(＋)
＝·＋·－2－·
＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°
＝15－10－12＋6＝－1.
(2)(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝，则||＝__________；·＝__________.
答案 －1
解析 法一 ∵＝(＋)，
∴P为BC的中点.
以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，
∴||＝＝.
易得＝(0，－1)，＝(－2，1).
∴·＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.
法二 如图，在正方形ABCD中，由＝(＋)得点P为BC的中点，
∴||＝＝.
·＝·(＋)＝·＋·＝－2＋0＝－1.
感悟提升 平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
训练1 (1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是( )
A.(－2，6) B.(－6，2)
C.(－2，4) D.(－4，6)
答案 A
解析 如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(－1，).设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)，且－1＜x＜3.
所以·＝(x，y)·(2，0)
＝2x∈(－2，6).
(2)(2022·石家庄调研)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值为________.
答案 13
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
则B，C(0，t)，
＝，＝(0，t)，
＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，
·＝·(－1，t－4)
＝17－≤17－2＝13，
当且仅当t＝时等号成立.
∴·的最大值等于13.
考点二 数量积的应用
角度1 夹角与垂直
例2 (1)(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝( )
A.－ B.－ C. D.
答案 D
解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，
∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝.
(2)(2021·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为( )
A. B. D.
答案 A
解析 因为＝λ＋，且⊥，
所以有·＝(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝(λ－1)·－λ2＋2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝.
角度2 平面向量的模
例3 (1)如果|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，则|a－2b|的值是( )
C.－24 D.－2
答案 B
解析 由|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，
得|a－2b|＝
＝
＝＝2.
(2)(2021·衡水联考)若向量a，b满足a＝(cos θ，sin θ)(θ∈R)，|b|＝2，则|2a－b|的取值范围为________.
答案 [0，4]
解析 设a与b的夹角为α，则(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝8－8cos α，因为α∈[0，π]，所以0≤8－8cos α≤16，所以0≤|2a－b|≤4.
(3)已知a，b是单位向量，a·b＝|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是________.
答案 ＋1
解析 法一 由a·b＝0，得a⊥b.
如图所示，分别作＝a，＝b，作＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的正方形，所以||＝.
作＝c，则|c－a－b|＝|－|＝||＝1.
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，||取得最大值＋|c|的最大值是＋1.
法二 由a·b＝0，得a⊥b.
建立如图所示的平面直角坐标系，则＝a＝(1，0)，＝b＝(0，1).
设c＝＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，
得(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上.
所以|c|max＝＋1.
法三 易知|a＋b|＝，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－|，
由已知得||c|－|≤1，
所以|c|≤1＋，故|c|max＝＋1.
感悟提升 (1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cos θ＝(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
训练2 (1)(多选)(2022·湖南三校联考)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则( )
A.|a＋b|＝2
－b的夹角为 D.|a－b|＝1
答案 BC
解析 |a＋b|＝＝，故A错误；
因为a，b是单位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b垂直，故B正确；
|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，|a－b|＝，故D错误；
cos〈a，a－b〉＝＝＝，所以a与a－b的夹角为，故C正确.
(2)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与
的夹角为60°，则||＝________.
答案
解析 ∵M为BC的中点，
∴＝(＋)，
∴||2＝(＋)2
＝(||2＋||2＋2·)
＝(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝，
∴||＝.
(3)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________.
答案 1＋
解析 设D(x，y)，由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，
向量＋＋＝(x－1，y＋)，
故|＋＋|＝的最大值为圆(x－3)2＋y2＝1上的动点到点(1，－)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心(3，0)到点(1，－)的距离加上圆的半径，即＋1＝1＋.
考点三 平面向量的综合应用
例4 (1)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )
答案 A