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思想02 分类与整合思想（练）
一、单选题
1．（2023·吉林·统考二模）已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由题得到，结合，即可求得.
【详解】无论椭圆焦点位于轴或轴，根据点,,为椭圆的三个顶点,
若是正三角形,则，即，即，
即有，则，解得.
故选：C.
2．（2023春·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考开学考试）表示不超过x的最大整数，已知函数，有下列结论：
①的定义域为；②的值域为；③是偶函数；④不是周期函数；⑤的单调增区间为．
其中正确的结论个数是（    ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】直接根据解析式可知①正确；通过特殊值可知②和③不正确；根据周期函数的定义可知④正确；根据函数的单调性可以判断，可知⑤正确.
【详解】对于①，的定义域为，故①正确；
对于②，当时，，故②错误；
对于③，,,的图象不关于y轴对称，则不是偶函数，故③错误；
对于④，当时，表示x的小数部分，在上单调递增,在上是周期变化，当时，当时，．是减函数, 在R上不是周期函数，故④正确；
对于⑤，当时，，表示x的小数部分，所以在上单调递增；当时，当时，， 是减函数．故的单调增区间为，故⑤正确．
故①④⑤正确.
故选: A．
3．（2023秋·天津·高一统考期末）已知函数若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论.
【详解】函数的四个不同的零点，，，，就是函数与两个图象四个交点的横坐标，
作出函数的图象，
对于A，，
当时，，令，解得，
结合图象可知，故A错误；
结合图象可知，解得，故B正确；
又，且，
所以，即，
所以，故C错误；
根据二次函数的性质和图象得出，所以，故D错误；
故选：B
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量的夹角为，，则（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由题知或.，再根据向量垂直的数量积表示，数量积的运算律分别讨论求解即可.
【详解】解：因为函数的两个零点分别为2，3，
所以或.
又，
所以，则，即.
当时，，解得（舍去）；
当时，，解得，满足.
综上，
故选：A
5．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（     ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【分析】先将问题的零点问题转化为函数与的交点，分析出的值域，由此判断出零点个数．
【详解】函数的零点个数为函数与的图象的交点的个数，
因为函数的定义域为，
所以当时，函数与的图象没有交点，
当时，，
所以当时，．
又函数的周期为2，所以．
当时，，
所以当时，函数与的图象没有交点，
作函数和函数在区间上的图象，
观察图象可得两函数图象有5个交点,
所以函数的零点个数为5.
故选：C.
6．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）双曲线：的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意求得，的坐标，设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得，由，，的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值.
【详解】解：由题意可得，，设，
由双曲线的定义可得，
，
，
则的周长为
，
当且仅当，，共线，取得最小值，且为，
由题意可得，
即，
，
则，
故选：B.
7．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练面向量满足，若，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得点的轨迹为以为焦点的椭圆，结合椭圆的定义分析求解.
【详解】∵，则，且，
不妨设，则，
由，即，
故点的轨迹为以为焦点的椭圆，
∴，
则，当且仅当点为的延长线与椭圆的交点时等号成立，
，当且仅当点为的延长线与椭圆的交点时等号成立，
即，故.
故选：D.
8．（2023·安徽合肥·统考一模）已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A，且，当PQ绕点A转动时，的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以点为原点，建立直角坐标系，可知两点都是圆上的动点，当直线斜率不存在时，可得，直线斜率存在时，可得到或，再讨论与的大小关系，即可求解.
【详解】以点为原点，以与平行的直线为轴，与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，易知两点都是圆上的动点，
当直线斜率不存在时，，
此时，，则
当直线斜率不存在时，可设直线的方程为，
当时，联立，解得，，
则，，
；
同理，当时，，，
，
综上所述，的取值范围是，
故答案选：D.
二、多选题
9．（2023秋·河南郑州·高一统考期末）已知实数a，b满足等式，下列式子可以成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据指数函数图象分析判断.
【详解】设，分别作出的函数图象，如图所示：
当，则，A成立；
当，则，B成立，C不成立；
当时，则，D成立.
故选：ABD.
10．（2023·广东深圳·统考一模）已知抛物线C：的准线为，直线与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（    ）
A．当时，以AB为直径的圆与相交
B．当时，以AB为直径的圆经过原点O
C．当时，点M到的距离的最小值为2
D．当时，点M到的距离无最小值
【答案】BC
【分析】将直线代入，结合韦达定理求得坐标、点到准线的距离及．当时，由可判断A；当时，由可判断B；当时，得的关系式，代入表达式，利用基本不等式可判断C；当时，得的关系式，代入表达式，利用对勾函数的性质可判断D．
【详解】抛物线，准线方程是，
直线代入，可得，，
设，则，
，
，
设，则，
点到准线的距离，
，
当时，，点到准线的距离，则以AB为直径的圆与相切，故A错误；
当时，，则，则以AB为直径的圆经过原点O，故B正确；
当时，即，得，
则，当且仅当时等号成立，故C正确；
当时，即，得，
所以，令，
则，由对勾函数的性质得，当时，单调递增，
故当时，取最小值，故D错误．
故选：BC．
11．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知F是抛物线的焦点，点在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线，分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则（    ）
A．四边形面积的最大值为2
B．四边形周长的最大值为
C．为定值
D．四边形面积的最小值为32
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，确定四边形形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦长即可计算推理判断C，D作答.
【详解】因为点在抛物线上，
所以，故，，
抛物线的焦点的坐标为，
因为，，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以四边形面积的最大值为2，故A正确.
由，
得，即，
当且仅当时，等号成立，
所以四边形周长的最大值为，故B不正确.
设直线的方程为，联立消x得，
方程的判别式，
设，，则，
则，
同理得，
，C正确.
，所以，
当且仅当时，等号成立，
此时，故D正确.
故选：ACD.