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基础过关练
题组一 幂函数的概念
( )
=2x2 =x3+x =3x =x12
=f(x)的图象经过点4,14,则f(2)= ( )
(x)=(1-x)-12+(2x-1)0的定义域是 ( )
A.(-∞,1] B.-∞,12∪12,1
C.(-∞,-1) ,1
4.(2021安徽合肥八中高一上期中)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,则n-m= ( )
(x)=(m2+2m)·xm2+m-1,m为何值时,函数f(x)是(1)正比例函数?(2)反比例函数?(3)幂函数?
题组二 幂函数的图象及其应用
=x43的图象是 ( )
,曲线C1和C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是 ( )
<m<0 <n<0
>m>0 >n>0
8.(2020湖南衡阳一中高一上期中)函数y=x12-1的图象关于x轴对称的图象大致是 ( )
题组三 幂函数的性质及其应用
,是偶函数且在(0,+∞)上为减函数的是 ( )
=x2 =x3
=x-2 =-x3
10.(2020山西长治二中高一上期末)已知α∈{-1,1,2,3},则使函数y=xα的值域为R,且为奇函数的所有α的值为 ( )
,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
(x)=xα的图象过点(-2,4),那么f(x)的单调递增区间是
( )
A.(-∞,+∞) B.[0,+∞)
C.(-∞,0] D.(-∞,0)∪(0,+∞)
12.(2020安徽安庆高一上期末)已知幂函数f(x)=(a2-2a-2)·xa在区间(0,+∞)上是增函数,则a的值为 ( )
B.-1 C.-3
(x)的图象过点(3,27),则满足不等式f(a-3)>f(1-a)的实数a的取值范围是 . 
14.(2021河北衡水武邑中学高一上期中)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)x-m-1(m∈R)为偶函数.
(1)求f12的值;
(2)若f(2a+1)=f(a),求实数a的值.
答案全解全析
基础过关练
y=2x2,y=x3+x,y=3x均不是幂函数,y=x12是幂函数,故选D.
设幂函数为f(x)=xα,∵幂函数的图象经过点4,14,∴14=4α,
∴α=-1,
∴f(x)=x-1,∴f(2)=2-1=12.
依题意得1-x>0,2x-1≠0,解得x<1,且x≠12,因此f(x)的定义域是-∞,12∪12,1,故选B.
由幂函数的定义可知,m-1=1,∴m=2,
∴点(2,8)在幂函数f(x)=xn的图象上,
∴2n=8,∴n=3,
∴n-m=3-2=19,故选A.
(1)若函数f(x)为正比例函数,
则m2+m-1=1,m2+2m≠0,
∴m=1.
(2)若函数f(x)为反比例函数,则m2+m-1=-1,m2+2m≠0,∴m=-1.
(3)若函数f(x)为幂函数,则m2+2m=1,
∴m=-1±2.
∵y=x43=3x4,∴该函数的定义域为R,且为偶函数,排除C,D;
又∵43>1,∴在第一象限内,y=x43的图象与y=x2的图象类似,排除B,故选A.
由题中图象可知,两函数在第一象限内单调递减,故m<0,n<<m,故n<m<0.
y=x12-1的定义域为[0,+∞),且为增函数,所以函数图象从左到右是上升的,所以y=x12-1的图象关于x轴对称的图象从左到右是下降的,故选B.
y=x2是偶函数,在(0,+∞)上为增函数,故A不正确;y=x3是奇函数,故B不正确;y=x-2是偶函数,且在(0,+∞)上为减函数,故C正确;y=-x3是奇函数,故D不正确.
当α=-1时,y=xα的值域不是R,当α=2时,y=xα是偶函数,当α=1,3时,y=xα的值域为R,且为奇函数,因此选项A正确,故选A.
依题意得(-2)α=4=(-2)2,即α=2,∴f(x)=x2,∴f(x)的单调递增区间是[0,+∞),故选B.
由题意知a2-2a-2=1,解得a=3或a=-1,又f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,所以a=3,故选A.
(2,+∞)
解析 设幂函数为f(x)=xα,因为其图象过点(3,27),所以27=3α,解得α=3,所以f(x)=(x)=x3在R上为增函数,所以由f(a-3)>f(1-a),得a-3>1-a,解得a>2.
所以满足不等式f(a-3)>f(1-a)的实数a的取值范围是(2,+∞).
(1)由题意知m2-5m+7=1,解得m=2或m=3,
当m=2时, f(x)=x-3,为奇函数,不满足题意;
当m=3时,f(x)=x-4,满足题意,
∴f(x)=x-4,
∴f12=12-4=16.
(2)由f(x)=x-4和f(2a+1)=f(a)可得|2a+1|=|a|,即2a+1=a或2a+1=-a,
∴a=-1或a=-13.