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高中数学人教A版（2019） 必修第二册 第八章空间向量与立体几何验收检测
一、单选题
1．已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是（       ）
A． B．
C． D．
2．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为（       ）
A．6 B．3
C．3 D．3
3．直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是（       ）
A．相交 B．平行
C．异面 D．以上都有可能
4．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（       ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，，则
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为底面ABCD内一点，则“F为棱BC的中点”是“EF∥平面ABC1D1”的（       ）
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A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥为阳马，且，底面．若是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与底面所成的角为，二面角的平面角为，则（       ）
A． B．
C． D．
7．正四面体中，棱长为2，其中为中点，为中点，则下列四个命题中正确的个数是（       ）
①面；
②；
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③直线与面所成角的余弦值为；
④若为棱上一点，则的最小值为.
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则（       ）
A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1
C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1
9．如图，已知直四棱柱的底面ABCD为直角梯形，，，且，，P，O，E分别为，AD，PC的中点，为正三角形，则三棱锥E-POB的体积为（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
10．如图，正方体的棱长为1，点是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是（       ）
A．存在点，使面
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B．二面角的平面角大小为
C．的最小值是
D．到平面的距离最大值是
11．由四个三角形围成的多面体称为四面体，，，，，，，，分别是棱，，，，正确的有（       ）
A．直线，有可能是异面直线
B．
C．过直线的平面截四面体外接球所得截面面积为定值
D．共顶点的三个侧面面角和等于
12．在四面体中，分别为的中点，则下列说法中正确的是（       ）
A．四点共面 B．
C． D．四边形为梯形
三、填空题
13．已知棱长为2的正方体中，点E是棱AB的中点，则直线与所成的角的余弦值是________．
14．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的结论序号是_______________.①；②平面；③异面直线，所成的角为定值；④直线与平面所成的角为定值；⑤以为顶点的四面体的体积不随位置的变化而变化.
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15．《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中对几种典型的几何体进行了命名，书中对“刍甍”的定义是“刍甍者，下有袤有广，，草也，甍，屋盖也.”如图是一种刍甍，四边形为矩形，平面，，，且该刍甍的体积为10，则棱长______.
16．已知正三棱锥的底面边长是，侧棱与底面所成角为，则此三棱锥的体积为__．
四、解答题
17．球与棱长为的正四面体的每一个面都相切，求此球的体积．
18．如图，三棱柱中，底面为正三角形，平面，且，是的中点.
(1)求证：平面平面；
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(2)在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是，若存在，求长；若不存在，说明理由.
19．已知将圆柱沿其轴截面ABCD分割，得到如图所示的几何体，若四边形ABCD是边长为2的正方形，E，F，H分别是，，AE上的点，AC与BD交于点O，，.
(1)求证：平面EFCB；
(2)求二面角的余弦值.
20．在正四棱锥中，分别是的中点，过直线的平面分别与侧棱交于点，求证：
21．已知一块正方形薄铁片的边长为，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形（如图），若用这块扇形铁片围成一个无底的圆锥，则这个无底的圆锥的表面积为多少平方厘米？
22．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BB1的中点.
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(1)求证：BC1//平面AD1E;
(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．
答案第1页，共18页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
利用扇形的面积公式，底面圆周长等于扇形弧长，即得解.
【详解】
设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得.
故选：B
2．A
【解析】
【分析】
利用斜二测画法还原△ABC，计算边AB上的高.
【详解】
过点C′作C′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，则∠C′D′B′＝45°.
∵在Rt△B′C′D′中，B′C′＝3，∴C′D′＝3 .所以△ABC的边AB上的高CD＝2C′D′＝6 .
故选：A.
【点睛】
，将图形的底边保持不变，高变为原来的1/2，90°角自动更改为45°角，这样得到的就是斜二测直观图.
3．D
【解析】
【分析】
借助长方体模型可判断直线与直线的位置关系.
答案第1页，共18页
【详解】
如下图所示：
在长方体中，将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线相交；
将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线平行；
将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线异面.
综上所述，直线与直线相交、平行或异面.
故选：D.
4．D
【解析】
【分析】
对于，与平行或异面；对于，与相交或平行；对于，与不一定垂直；对于，由线面垂直的判定定理得．
【详解】
对于，若，，，则与平行或异面，故A错误；
对于，若，，，则与相交或平行，故B错误；
对于，若，，，则与不一定垂直，故C错误；
对于，若，，，，则，
，，故D正确．
故选：
5．A
【解析】
答案第1页，共18页
【分析】
取的中点，的中点，连接、、判断充分性和必要性是否成立即可．
【详解】
取的中点，的中点，连接、、，如图所示．
因为EH∥BC1，EH平面ABC1D1，BC1⊂平面ABC1D1，所以EH∥平面ABC1D1，当F为棱BC的中点H时，EF∥平面ABC1D1，充分性成立．
又HG∥AB，同理HG∥平面ABC1D1，且EH∩HG＝H，则平面EHG∥平面ABC1D1，
显然，F为GH上的点时都满足EF∥平面ABC1D1，即必要性不成立．
所以“F为棱BC的中点”是“EF∥平面ABC1D1”的充分不必要条件．
故选：A
6．A
【解析】
【分析】
根据给定条件作出与、与底面所成的角，确定二面角的平面角，再推理计算作答.
【详解】
四棱锥中，是线段上的点(不含端点)，过E作交CD于F，连接DE，SF，如图，