重积分的应用.讲课文档.ppt

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第六节
一、平面图形的面积及立体体积
二、曲面的面积
三、物体的重心
四、物体的转动惯量
五、物体的引力
重积分的应用
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解：
所求立体的体积为
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解：
另解：
1. 能用重积分解决的实际问题的特点
所求量是
对区域具有可加性.
分布在有界闭域上的整体量.
2. 用重积分解决问题的方法
-----元素法
问题：满足什么条件的量可用重积分解决？
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元素法的步骤：
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.
元素法也可推广到三重积分上
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设曲面S的方程为
曲面S在xoy面上的投影为区
域D，
如图，
设小区域
点(x,y)
为S上过点
M(x,y,z)的切平面，
以
的边
界为准线，
母线平行于z轴的
小柱面，
截曲面S为
截
切平面
为
则有
则面积 A 可看成曲面上各点
处小切平面的面积 d A
无限积累而成.
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------曲面S的面积元素
因为
为
在xoy面上的
投影，
则有
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a
b
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３．设曲面的方程为：
曲面面积公式为：
２．设曲面的方程为：
曲面面积公式为：
同理可得
曲面面积公式为：
即 １．设曲面的方程为：
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x
z
y
解：
x
o
y
例1. 求球面
，含在圆柱体
内部的那部分面积.
曲面方程：
由对称性知：
,
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