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高中数学选修二综合测试题笔记重点大全
单选题
1、设曲线 = 2𝑥(e=…为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线及直线2 − − 1 = 0和两坐标轴的正半轴
所围成的四边形有外接圆，则 =（ ）
1 1
A．−1B．−4C．4D．1
答案：B
分析：由导数的几何意义，求得切线的方程 = 2 + 1，根据围成的四边形有外接圆，得到切线与直线2 −
− 1 = 0垂直，列出方程，即可求解.
由题意，函数() = 2𝑥，可得′() = 22𝑥，则′(0) = 2，
即曲线 = 2𝑥在点(0,1)处的切线的斜率为𝑘 = 2，
所以切线方程为 − 1 = 2，即 = 2 + 1，
要使得切线与直线2 − − 1 = 0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，
1
则满足两直线垂直，即2 × 2 = −1，解得 = −4.
故选：B.
𝜋 ′
2、设函数() = cos，则[(2)] ＝（ ）
A．0B．1C．−1D．以上均不正确
答案：A
𝜋
分析：先求(2)的值再求导，实质是常数的导数为0.
𝜋 𝜋 𝜋 ′
因为( ) = cos = 0为常数，所以[( )] = 0.
2 2 2
故选：A.
3、下列函数中是增函数的为（ ）
2 𝑥 3
A．() = −B．() = ( ) C．() = 2D．() = √
3
答案：D
分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. : .
对于 A，() = −为上的减函数，不合题意，舍.
2 𝑥
对于 B，() = ( ) 为上的减函数，不合题意，舍.
3
对于 C，() = 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍.
对于 D，() = 3 为上的增函数，符合题意，
√
故选：D.
3𝑥
4、已知() = e𝑥，则()（ ）
A．在(−∞,+∞)上单调递增 B．在(−∞,1)上单调递减
3
C．有极大值e，无极小值 D．有极小值 3，无极大值
答案：C
分析：根据导数判断单调性与极值
′ 3−3𝑥 ′ ′
() = e𝑥 ，则 < 1时 () > 0， > 1时 () < 0
()在区间(−∞,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减
3
有极大值(1) =
e
故选：C
4+5
5、在等比数列{}中，1 = 1，23 = 8，则 + =（ ）
1 2
A．8B．6C．4D．2
答案：A
4+5
分析：由题设结合等比数列通项公式求得公比 = 2，进而求 + .
1 2
由题设， = 23 = 8，又 = 1，可得 = 2，
2 3 1 1
4+5 13+14 24
∴ = = = 8.
1+2 1+1 3
故选：A
𝑥−−𝑥
6、函数() = 2 的图象大致为（ ）
𝑥 : .
A． B． C．
D．
答案：B
分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由(1) = − −1 > 0排除不正确的选项，从而得出答案..
−𝑥−𝑥
详解：∵ ≠ 0,(−) = 2 = −() ∴ ()为奇函数，排除 A,
𝑥
∵ (1) = − −1 > 0，故排除 D.
′ (𝑥+−𝑥)𝑥2−(𝑥−−𝑥)2𝑥 (𝑥−2)𝑥+(𝑥+2)−𝑥
∵ () = 4 = 3 ,，
𝑥 𝑥
当 > 2时，′() > 0，所以()在(2， + ∞)单调递增，所以排除 C；
故选：B.
7、北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕
天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，
向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
（ ） : .
A．3699 块 B．3474 块 C．3402 块 D．3339 块
答案：C
分析：第 n 环天石心块数为，第一层共有 n 环，则{}是以 9 为首项，9 为公差的等差数列，
设为{}的前 n 项和，由题意可得3 − 2 = 2 − + 729，解方程即可得到 n，进一步得到3.
设第 n 环天石心块数为，第一层共有 n 环，
则{}是以 9 为首项，9 为公差的等差数列， = 9 + ( − 1) × 9 = 9，
设为{}的前 n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为,2 − ,3 − 2，因为下层比中层多 729 块，
所以3 − 2 = 2 − + 729，
3(9+27) 2(9+18) 2(9+18) (9+9)
即 − = − + 729
2 2 2 2
即92 = 729，解得 = 9，
27(9+9×27)
所以3 = 27 = = 3402.
2
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
8、已知函数() = (2 − )𝑥，则“ ≥ −1”是“()有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：求导函数，判断导函数的符号，确定有极值时的范围即可. : .
′() = (2 + 2 − )𝑥 = 0，2 + 2 − = 0，𝛥 = 4 + 4．
若𝛥 = 4 + 4 ≤ 0， ≤ −1则′() = (2 + 2 − )𝑥 ≥ 0恒成立，
()为增函数，无极值；
若𝛥 = 4 + 4 > 0，即 > −1，则()有两个极值．
所以“ ≥ −1”是“()有极值”的必要不充分条件．
故选:B
多选题
1 1
9、已知数列{}满足1 = − ，+1 = ，则下列各数是{}的项的有（ ）
2 1−𝑛
2 3
A．−2B． C． D．3
3 2
答案：BD
分析：根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3 的周期数列，从而可求解结论．
1 1
因为数列{}满足1 = − ，+1 = ，
2 1−𝑛
1 2
∴ 2 = 1 = 3；
1−(−2)
1
3 = 1− = 3；
2
1 1
4 = 1− = −2 = 1；
3
1 2
∴数列{}是周期为 3 的数列，且前 3 项为 −2，3，3；
故选：𝐷．
小提示：本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于
基础题．
10、记为等差数列{}的前 n + 35 = 7，则以下结论一定正确的是（ ）
A．4 = 0B．的最大值为3C．6 = 1D．|3| < |5|
答案：AC
分析：根据等差数列的定义及前项和公式可求得公差与1的关系，再对各项进行逐一判断即可.
设等差数列的公差为， : .
因为1 + 35 = 7，可得1 + 3(1 + 4) = 71 + 21，解得1 = −3，
又由 = 1 + ( − 1) = ( − 4)，所以4 = 0，所以 A 正确；
因为公差的正负不能确定，所以3可能为最大值最小值，故 B 不正确；
由6 − 1 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 54 = 0，所以6 = 1，所以 C 正确；
因为3 + 5 = 24 = 0，所以3 = −5，即|3| = |5|，所以 D 错误.
故选:AC.
11、《张丘建算经》：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，
今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天
起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5 尺，一个月共织了 9 匹 3 丈，问从第二天起，每天比前一
天多织多少尺布？”已知 1 匹= 4丈，1 丈= 10尺，若这个月有 30 天，记该女子这个月中第天所织布的尺数
为 ， = 2𝑛，则（ ）
A．10 = 85B．数列{}是等比数列
3+5+7 209
C．130 = 105D． + + = 193
2 4 6
答案：BD
分析：利用等差数列前项和公式列方程，由此求得，.
由题意可知，数列{}为等差数列，设数列{}的公差为，首项1 = 5，
30×29 16
则301 + 2 = 9 × 4 × 10+ 30= 390，解得 = 29，
( ) 16+129
∴ = 1 + − 1 = 29 .
𝑛+1 2𝑎𝑛+1 −
∵ = 2 𝑛，∴ = = 2 𝑛+1 𝑛 = 2 ，
𝑛 2𝑎𝑛
∴ 数列{}是等比数列，B 选项正确；
16 80 10 5 5 3
∵ 5 = 5 × 29 = 29 ≠ 3，∴ = (2 ) = 2 ≠ 2 ，A 选项错误；
5
= + 29 = 21，∴ = 5 × 221 > 105，C 选项错误；
30 1 1 30
16 193 16 209
4 = 1 + 3 = 5 + 3 × = ，5 = 1 + 4 = 5 + 4 × = ，
29 29 29 29
3+5+7 35 5 209
∴ + + = 3 = = 193，D 选项正确.
2 4 6 4 4 : .
故选：BD.
填空题
12、等差数列{}的前项和为，且满足19 > 0，20 < 0，则使取得最大值的为______．
答案：10
分析：由19 > 0，20 < 0，结合等差数列的前项和公式得到第 10 项大于 0，第 10 项和第 11 项的和小于 0，
得到第 10 项大于 0，这样前 10 项的和最大．
由19 > 0，20 < 0，可知{}为递减的等差数列，
设其公差为，则 < 0，
19(1+19)
由19 = > 0，20 = 10(1 + 20) < 0，
2
得1 + 19 = 210 > 0，1 + 20 = 10 + 11 < 0，
所以10 > 0，11 < 0，
所以使取得最大值的为 10，
所以答案是：10．
小提示：一般地，如果{}为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若,,, ∈ 𝑁 ∗, + = + ，则 + = + ；
(𝑘+𝑛+1−𝑘)
（2） = ,𝑘 = 1,2,⋯, 且2−1 = (2 − 1) ；
2
2 𝑆𝑛
（3） = + 且{}为等差数列；
（4）,2 − ,3 − 2,⋯ 为等差数列.
13、中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2 月开始，每
月比前一月多入相同量的铜钱），第3 月入 25 贯，全年（按 12 个月计）共入 510 贯”，则该人第 10 月营收
贯数为__________.
答案：60
分析：设每个月的收入为等差数列{}，公差为，则3 = 25,12 = 510，利用等差数列的通项公式与求和公
式列方程求解1,，再计算10即可.
设每个月的收入为等差数列{}，公差为，则3 = 25,12 = 510， : .
12×11
∴ 1 + 2 = 25，121 + 2 = 510，
解得：1 = 15, = 5，
∴ 10 = 1 + 9 = 15+ 9 × 5 = 60.
所以答案是：60
0 sin𝑥 0
14、我们把分子，分母同时趋近于0 的分式结构称为0型，比如：当 → 0时， 𝑥 的极限即为0型，两个无穷
小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算
法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、
分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
sin𝑥 (sin𝑥)′ cos𝑥 e𝑥+e−𝑥−2
如：lim 𝑥 = lim 𝑥′ = lim 1 = 1，则lim 1−cos𝑥 =______．
𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0
答案：2
分析：根据题设对分子、分母分别求导再求极限即得.
e𝑥+e−𝑥−2 (e𝑥+e−𝑥−2)′ e𝑥−e−𝑥 (e𝑥−e−𝑥)′ e𝑥+e−𝑥
由题可得lim 1−cos𝑥 = lim (1−cos𝑥)′ =lim sin𝑥 = lim (sin𝑥)′ =lim cos𝑥 = 2.
𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0
所以答案是：2.
解答题
15、已知数列{}满足+1 − 2 + 2 = 0，且1 = 8.
（1）证明：数列{ − 2}为等比数列；
(−1)𝑛𝑛 ∗
（2）设 = (2𝑛+1)(2𝑛+1+1)，记数列{}的前项和为，若对任意的 ∈ 𝑁 ， ≥ 恒成立，求的取值范围.
2
答案：（1）证明见详解；（2）[−9,+∞).
分析：（1）由题意得+1 − 2 = 2( − 2)，化简整理，结合定义即可得证.