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高三数学综合复测试试题
姓名 班级 学号 得分
说明：
１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分 100
分。考试时间 90 分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷
上。考试结束后，只收第Ⅱ卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题
1. 设 , ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. 若复数 满足 ，其中 i为虚数单位，则 （ ）
A．2 B． C． D．3
3. 设 均为单位向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
: .
4. 若 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设
三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 ，则“三斜求积公式”为
.若 ，
，则用“三斜求积公式”求得的 ( )
A． B． C． D．
6. 一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为 ，则该几何体的外接球的
表面积为（ ）
A．36π B．64π C．81π D．100π
7. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( )
A． B． C． D．
: .
8. 已知函数 ，其部分图象如图所示，则 的
解析式为（ ）
A．
B．
C．
D． 或
9. 函数 ，若数列 满足 ， ，且 是递增
数列，则实数 的取值范围是（ ）
C． D．
A． B．
10. 已知 在 处取得极值，则 的最小
值是（ ）
B．2
A． C． D．
: .
11. 已知函数 ， 是偶函数，且函数 满足 ，当
时， ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
12. 已知函数 ( 为自然对数的底数)，则函数
的零点个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
13. 已知 ， ，则 ________.
14. 函数 的图象在点 处的切线方程为________.
15. 给出下列命题：①函数 是偶函数；
②方程 是函数 的图象的一条对称轴方程；
③在锐角 中， ；
: .
④函数 的最小正周期为 ；
⑤函数 的对称中心是 ， ，
其中正确命题的序号是________.
16. 已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则
实数 的取值范围为______
三、解答题
17. 一块成凸四边形 的麦田，，将 连接，经测量已知
， .
（1）求 的值；
（2）记 与 的面积分别为 和 ，为了更好地规划麦田，请你求出 的
最大值.
18. 如图，等腰梯形 ABCD 中， ， ， ，E 为 CD 中点，
以 AE 为折痕把 折起，使点 D 到达点 P 的位置（ 平面 ABCE）
: .
（1）证明： ；
（2）若线段 PC 的长为 ，求二面角 的余弦值.
19. 有一名高二学生盼望 2020 年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均
可录取：①2020 年 2 月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从 2019 年 10 月省数学
竞赛一等奖中选拔）：②2020 年 3 月自主招生考试通过并且达到 2020 年 6 月高考重点分数
线，③2020 年 6 月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备
参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表
省数学竞赛一等 高考达该校分数
自主招生通过 高考达重点线
奖 线
若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是