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几何中的最值问题（讲义）
一、知识点睛
几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.
求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；
求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”
及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.
一般处理方法：
线段和差、 线段最值
周长最值
几何变换、 构建
转化
等线段转移 三角形
① 折转直；②集中线段长；
③目标线段转化为相关线段.
常用定理：
两点之间，线段最短（两个定点）
垂线段最短（一个定点、一条定直线）
三角形三边关系（两边长固定或其和、差固定）
A
B
B'
A
l
l
P P
B' B
PA+PB 最小， |PA-PB|最大，
需要点在异侧 需要点在同侧
1
: .
1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的
点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相
对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm．
A P D
蚂蚁 A Q
E
C 蜂蜜
B C
第 1 题图 第 2 题图
2. 如图，正方形 ABCD 的边长是 4，∠DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P，
Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值为 .
3. 如图，在锐角△ABC 中， AB 4 2 ，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC
于点 D，点 M，N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值为
___________．
C
A D
K
D
M
Q
B B C
A N P
第 3 题图 第 4 题图
4. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点 P、Q、K 分别为线段 BC、
CD、BD 上的任意一点，则 PK+QK 的最小值为 .
5. 如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a= ．
2
: .
y
D C
P(a,0) N(a+2,0)
O x
B(4,-1)
B' C'
P
D'
A(1,-3) A B
第 5 题图 第 6 题图
6. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为边 BC 上任意一点（可与点 B 或点
C 重合），分别过点 B、C、D 作射线 AP 的垂线，垂足分别是 B′、C′、D′，
则 BB′+CC′+DD′的最大值为 ，最小值为 ．
7. 如图，两点 A、B 在直线 MN 外的同侧，A 到 MN 的距离 AC=8，B 到 MN 的
距离 BD=5，CD=4，P 在直线 MN 上运动，则 PA PB 的最大值等
于 ．
A y
B A
O x
B
M D P C N
第 7 题图 第 8 题图
8. 点 A、B 均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角
坐标系如图所示．若 P 是 x 轴上使得 PA PB 的值最大的点，Q 是 y 轴上使
得 QA+QB 的值最小的点，则 OP OQ ＝ ．
9. 如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB
于 E，PF⊥AC 于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为_________．
3
: .
C
A
F D
M
E
B P C A P B
第 9 题图 第 10 题图
10. 如图，已知 AB=10，P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和
PB 为边作等边△APC 和等边△BPD，则 CD 长度的最小值为 ．
11. 如图，点 P 在第一象限，△ABP 是边长为 2 的等边三角形，当点 A 在 x 轴的
正半轴上运动时，点 B 随之在 y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原
点的最大距离是________.
y
B