文档介绍：运用向量几何运算巧解几个高考题
向量是高中数学中重要的数学概念和数学工具之一,它用代数的方法来研究几何问题,是数形结合的一个典范,体现了解析几何的本质。代数几何化、几何代数化等多角度思维是平面向量命题的特点,这就说明了平面几何和平面向量交汇点的将是高考试题命制的焦点和热点。
例1. 已知向量,,对任意,恒有,则( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:,恒有,等价于恒成立,即恒成立,展开整理得恒成立,则,整理得,,,所以选(C)。
妙解:如下图作,,,则,,又因为,恒有,所以恒有,则必有,即。
,,满足,,,若,则的值是。
参考答案: ,,
,,,又
,。
妙解:如下图作,,,,,又,又
,,所以是等腰直角三角形,,
,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是( )
(A)1 (B)2 (C) (D)
参考答案:设与的夹角为,
,。
妙解:如下图作,,,则,,又,,所以四边形有外接圆,为直径,又是圆的一条弦,。
以上三个例题都是关于平面向量的基础知识的考查,本身难度不大,属于中档题,可以依靠向量本身的运算性质的到相应的结论。但是如果采用向量的几何运算,就可以使运算得以简化,有思维量而少计算量,而且整个思维过程充满技巧,小巧而有趣,充分反应了平面几何和平面向量交汇点试题巧妙的特点。其次,构造法的威力不可小觑;数形结合的思想是创新解题中永恒的主题。以前,我们强调更多的是用向量的观点解决几何问题,而上面的例子充分说明了逆向应用即构造几何图形解决向量问题同样精彩!不过,“构造几何图形巧解向量问题”技巧性强,需要有较好的数学功底.