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新版课程标准
学业水平要求
,会利用全概率公式计算概率.
.
,学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率.(数学抽象、数学运算)
.(数学建模、数学运算)
必备知识·素养奠基
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai).
设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)=
=,i=1,2,…,n.
(对的打“√”,错的打“×”)
(1)全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为Ai=Ω.( )
(2)贝叶斯公式是在观察到事件B已发生的条件下,寻找导致B发生的每个原因的概率.( )
提示:(1)×.需满足的条件为AiAj=∅(i≠j),Ai=Ω,且P>0.
(2)√.
=,P=,则P=( )
A. B. C. D.
【解析】,
P=PP=×=.
,B为样本空间Ω中的事件,BA与B是互斥的,B=BA+B,且P=,P=,则P=( )
A. B. C. D.
【解析】,
P=P+P=+=.
关键能力·素养形成
类型一 利用全概率公式求概率
角度1 全概率公式的应用
【典例】1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3 个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,求从2号箱取出红球的概率.
【思维·引】弄清题意,用全概率公式求解.
【解析】设A:最后从2号箱取出的是红球,B:从1号箱取出的是红球,则:
P==,P=1-P=;
P==,P==;
所以P=P+P
=PP+PP=×+×=.
角度2 定理1的应用
【典例】播种用的小麦种子混有2%的二等种子,%的三等种子,1%、二、三、,,,,求这批麦种所结出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率.
【思维·引】细研题意,利用定理1解决问题.
【解析】设Bk:从这批种子中任选一颗是k等种子,k=1,2,3,4;设A:从这批种子中任选一颗结出的麦穗含有50颗麦粒以上,则
P=,P=,P=,
P=1---=,
P=,P=,
P=,P=,由定理1得,
P=PP
=×+×+×+×
= 5.
【素养·探】
★本例考查全概率公式的应用,同时考查了数学建模与数学运算的核心素养.
本例条件不变,求所结出的含有50颗麦粒以上麦穗中是一等种子长成的概率.
【解析】由典例知P= 5,所以
P===≈ 6.
【类题·通】
全概率公式求概率的关注点
(1)实质:为了求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件之和,然后利用条件概率和乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后利用概率可加性,得到最终结果.
(2)应用:把事件B看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An …看作该过程的若干个原因,根据历史资料,每一原因发生的概率(即P)已知,而且每一原因对结果的影响程度(即P)已知,则可用全概率公式计算结果发生的概率(即P).
【习练·破】
有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30% ,二厂生产的占 50% ,三厂生产的占 20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?
【解析】设事件A 为“任取一件为次品”,
事件Bi:任取一件为i厂的产品,i=1,2,3.
B1∪B2∪B3=Ω,BiBj=∅,i,j=1,2,3,i≠j;
P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,由全概率公式得,
P(A)=P(B1)P(B1)+P(B2)P(B2)+P(B3)P(B3)=×+×+×=.
【加练·固】
设一仓库中有10 箱同种规格的产品, 其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱 , 3箱, 2 箱,三厂产品的废品率依次为 , , 从这10箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率.
【解析】设A为事件“取得的产品为正品”,
B1,B2,B3分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,
由题设知P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,
P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,
所以P(A)=P(Bi)P(Bi)
=×+×+×=.
类型二 利用贝叶斯公式求概率
【典例】三部自动的机器生产同样的零件,其中机器甲生产的占40%,机器乙生产的占25%,机器丙生产的占35%,已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有10%、5%和 1%不合格,现从总产品中随机地抽取一个零件,发现是不合格品,求:
(1)它是由机器甲生产出来的概率;
(2)它是由哪一部机器生产出来的可能性大.
【思维·引】利用贝叶斯公式分别求出不合格产品是由哪一部机器产出的概率,比较大小即可.
【解析】设B1,B2,B3分别表示事件:任取的零件为甲、乙、丙机器生产的, A:抽取的零件是不合格品,由条件知,
P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,
P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=,
(1)所求概率为P(B1|A),P(B1|A)=≈.
(2)类似(1)的计算可得P≈,P≈,比较可知是机器甲生产出来的可能性大.
【类题·通】
贝叶斯公式的应用
把事件B看作某一过程的结果,
把A1,A2,…,An …看作该过程的若干个原因,根据历史资料,每一原因发生的概率即P已知,而且每一原因对结果的影响程度(即P)已知,如果已知事件B已经发生,要求此时是由第 i个原因引起的概率,则用贝叶斯公式(即求P).
【习练·破】
用血清诊断肝癌,临床实践表明,患肝癌的病人中有95%试验呈阳性,也有2%,%,现某人在普查中化验结果呈阳性,求此人确患肝癌的概率.
【解析】设A:被化验者确患肝癌症,B:被化验者结果呈阳性,则
P(B|A)=,P(B|)=,P(A)=,
P()=1-P(A)=,
P(A|B)==
=≈.
【加练·固】
已知5%%的女人是色盲患者,现随机地选取一人,此人恰为色盲患者,此人是男人的概率是多少?(假设男人,女人各占人数的一半)
【解析】设A:选取的人患色盲,设B:选取的人是男人,则:选取的人是女人,依题意得,
P(B)=,P(A P()=,
P(A)= ,所求概率为:
P(B)=
= =.
课堂检测·素养达标
,,,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,则该产品合格的概率为( )
【解析】:从仓库中随机提出的一台是合格品,Ai:提出的一台是第i车间生产的,i=1,2,
则有B=A1B∪A2B,由题意,
P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,
由全概率公式P(B)= P(A1) P(B|A1)+ P(A2) P(B|A2)=×+×=.
∶1,,,今有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为________. 
【解析】设B:中途停车修理,A1:经过的是货车,A2:经过的是客车,则B=A1B∪A2B,由贝叶斯公式有
P(A1)=
==.
答案:
,4只白球;乙袋中有8只红球,,再从该袋中随机取一球,该球是红球的概率为________. 
【解析】记B:该球是红球,A1:取自甲袋,A2:取自乙袋,
已知P(B|A1)=,
P(B|A2)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
答案:
【新情境·新思维】
五个阄,其中两个阄内写着“有”字, 三个阄内不写字 ,五人依次抓取,问第一个人与第二个人抓到“有”字阄的概率是否相同?
【解析】设Ai表示“第i人抓到′有′字阄”的事件,
i=1,2,3,4,(A1)=,
P(A2)=P(A1A2∪A2)=P(A1A2)+P(A2)
=P(A1)P(A1)+P()P()
=×+×=.所以第一个人与第二个人抓到“有”字阄的概率相同.
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