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第二章 网络拓扑构造与静态特征
第二章 网络拓扑构造与静态特征
引言
网络的基本静态几何特征
无向网络的静态特征
有向网络的静态特征
加权网络的静态特征
网络的其他静态特征
复杂网络分析软件
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引言
与图论的研究有所不一样，复杂网络的研究更侧重于从多种实际网络的现象之上抽象出一般的网络几何量，并用这些一般性质指导更多实际网络的研究，进而通过讨论实际网络上的详细现象发展网络模型的一般措施，最终讨论网络自身的形成机制。
记录物理学在模型研究、演化机制与构造稳定性方面的丰富的研究经验是记录物理学在复杂网络研究领域得到广泛应用的原因；而图论与社会网络分析提供的网络静态几何量及其分析措施是复杂网络研究的基础。
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引言
静态特征指给定网络的微观量的记录分布或宏观记录平均值。
在本章中我们将对网络的多种静态特征做一小结。由于有向网络与加权网络有其特有的特征量，我们将分开讨论无向、有向与加权网络。
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网络的基本静态几何特征
平均距离
集聚系数
度分布
实际网络的记录特征
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平均距离
网络中的两节点vi和vj之间经历边数至少的一条简单途径（经历的边各不相似），称为测地线。
测地线的边数dij称为两节点vi和vj之间的距离（或叫测地线距离）。
1／dij称为节点vi和vj之间的效率，记为εij。一般效率用来度量节点间的信息传递速度。当vi和vj之间没有途径连通时，dij＝∞，而εij＝0，因此效率更适合度量非全通网络。
网络的直径D定义为所有距离dij中的最大值
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平均距离
平均距离（特征途径长度）L定义为所有节点对之间距离的平均值，它描述了网络中节点间的平均分离程度，即网络有多小，计算公式为
对于无向简单图来说，dij＝dji且dii＝0，则上式可简化为
诸多实际网络虽然节点数巨大，但平均距离却小得惊人，这就是所谓的小世界效应。
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平均距离
定义
对于无权简单图来说，当l＝1时， 。容易证明无权简单图邻接矩阵A的l次幂Al的元素 表达节点vi和vj之间通过l条边连接的途径数。当l＝2时，容易推出
式中，U表达单位指示函数，即当x＞0，U（x）＝1；否则U（x）＝0。当i＝j时，δij＝1；否则δij＝0。
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平均距离
容易用数学归纳法证明
据此，若D为网络直径，则两节点vi和vj之间的距离dij可以表达为
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集聚系数
首先来看节点的集聚系数定义。假设节点vi与ki个节点直接连接，那么对于无向网络来说，这ki个节点间也许存在的最大边数为ki（ki－1）／2，而实际存在的边数为Mi，由此我们定义Ci＝2Mi／［ki（ki－1）］为节点vi的集聚系数。
对于有向网络来说，这ki个节点间也许存在的最大弧数为ki（ki－1），此时vi的集聚系数Ci＝Mi／［ki（ki－1）］。
将该集聚系数对整个网络作平均，可得网络的平均集聚系数为
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