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高考数学
第一页，编辑于星期六：七点 五十一分。
考点一 双曲线的定义和标准方程
在平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于 零)的点的轨迹叫做双曲线,定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离 叫做焦距.
考点清单
注意 (1)设双曲线上的点M到两焦点F1,F2的距离之差的① 绝对值    为2 a,即||MF1|-|MF2||=2a,其中0<2a<|F1F2|,这一条件不能忽略.
=|F1F2|,则点M的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线;
>|F1F2|,则点M的轨迹不存在;
=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
第二页，编辑于星期六：七点 五十一分。
(2)若将双曲线定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉,则 点的集合是双曲线的一支,具体是左支(上支)还是右支(下支)视情况而定.
(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为②     - =1(a> 0,b>0)    ;
(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0）.
注意 (1)焦点位置的判断:在双曲线的标准方程中,看x2项与y2项的系数正 负,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上,即 “焦点位置看正负,焦点随着正的跑”.
(2)a,b,c满足③    c2=a2+b2    ,即c最大(c为半焦距).
第三页，编辑于星期六：七点 五十一分。
考点二 双曲线的几何性质
标准方程
- =1(a>0,b>0)
- =1(a>0,b>0)
一般方程
mx2+ny2=1(mn<0)
第四页，编辑于星期六：七点 五十一分。
范围
|x|≥a,y∈R
|y|≥a,x∈R
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
对称性
关于x轴、y轴对称,关于原点对称
实、虚轴长
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b(a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长)
焦距
焦距|F1F2|为2c,c是半焦距
离心率
e= =④         (e>1)
渐近线
方程
y=± x
⑤    y=± x
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拓展延伸 :过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 .
:P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1 PF2=θ,则△F1PF2的面积为 .
.
4.(1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.
(2)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线离心率e= ⇔两条渐近线互相垂直.
第六页，编辑于星期六：七点 五十一分。
,A,B是双曲线(焦点在x轴上)上的三个不同的点,其中A,B关于原点对 称,则直线PA与PB的斜率之积为 .
,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a +c,|PF2|min=c-a.
(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为 ,异
支的弦中最短的为实轴,其长为2a.
- =1(a>0,b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1,F2分
别为双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标恒为 定值a.
:(1)它们有共同的渐近线;(2)它们的四个焦点共圆;(3) 它们的离心率的倒数的平方和等于1.
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考法一 求双曲线方程的方法
知能拓展
例1 设双曲线与椭圆 + =1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交
点的坐标为( ,4),则此双曲线的标准方程是     .
解题导引 要求双曲线的标准方程,应先看焦点所在坐标轴,再确定a,b的 值,即先定型,,焦点已知且在y轴上,并且过点P( ,4),求
出P到两焦点距离,用定义求即可;还可以设出标准方程,用待定系数法求 解;这两种方法是求双曲线标准方程的通用方法.
第八页，编辑于星期六：七点 五十一分。
解析    解法一:椭圆 + =1的焦点坐标是(0,±3),设双曲线方程为 - =
1(a>0,b>0),根据双曲线的定义知2a=| - |=
4,故a==32-a2=5,故所求双曲线的标准方程为 - =1.
解法二:椭圆 + =1的焦点坐标是(0,±3).设双曲线方程为 - =1(a>
0,b>0),则a2+b2=9①,又点( ,4)在双曲线上,所以 - =1②,联立①②,解
得a2=4,b2= - =1.
答案     - =1
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例2 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为F,点B是虚轴的一个端
点,线段BF与双曲线C的右支交于点A,若 =2 ,且| |=4,则双曲线C的
方程为( )
A. - =1     B. - =1     C. - =1     D. - =1
思路导引 本题与例1的不同点在哪儿?这儿给出了两个条件 =2 ,|
|=4,要求出方程,必求a,b的值,已知中的每个条件应得出关于a,b的方程,联 立求出a,b的值.
方法总结 :根据已知条件,若所求轨迹满足双曲线的定义,则利用 双曲线的定义求出参数a,b的值,从而得到轨迹方程.
:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准 方程,利用题目条件构造关于a,b的方程(组),解得a,b的值,即可求得方程.
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