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2019中考数学压轴题
1。（眉山)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A(﹣5，0)和点B（1，0)。
（1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E,PG⊥y轴，⊥x轴于点F。当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；
B
A
C
O
D
E
F
G
P
y
x
图1
图2
A
B
C
D
y
x
M
N
O
(3)如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上(不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA， MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在,请说明理由.
2.(甘肃)如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0)、B（3,0），与y轴交于点C．
(1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标；
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（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
3。(广安)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l：y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(-1,0)，D(5,-6)，P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A、D重合)．
(1)求抛物线和直线l的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE//x轴交直线l于点E，作PF//y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M,使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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4。（武威)如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点,与y轴交于点C，连接AC,BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m．
（1)求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C,Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在,请说明理由;
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?
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5。(无锡)已知二次函数（a＞0）的图像与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．D为顶点，直线AC交对称轴于点E,直线BE交y轴于点F，AC：CE＝2:1．
（1)求C点坐标,并判断b的正负性；
(2）设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E,连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．
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6。(菏泽）如图,抛物线与x轴交于A，B两点,与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2,0)P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．
(1)求抛物线的函数表达式;
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(2）若点P在第二象限内,且PE＝OD，求△PBE的面积．
（3)在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方,是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7。(凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C(0，3)．
(1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长;若不存在,请说明理由；
（3）在(2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC?若存在，请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由．
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8. （河南)如图，抛物线y = ax2 + x + c 交x 轴于A，B 两点，交y 轴于点C，直线
y = - x - 2经过点 A,C．
（1）求抛物线的解析式．
（2)点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐标为 m．
①当△PCM 是直角三角形时,求点 P 的坐标；
②作点 B 关于点 C 的对称点 B¢，则平面内存在直线 l，使点 M，B， B¢到该直线的距离都相等．当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上,且与点 B 不重合时,请直接写出直线 l： y = kx + b 的解析式．（
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k，b 可用含 m 的式子表示）
y
A
M O
B
x
P
C
y
A
O
B
x
C
9.（衡阳)如图，二次函数的图象与x轴交于点A（—1，0）和点B（3,0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上的一动点，连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.
求该抛物线的函数关系表达式；
当P点在线段OB（点P不与O、B点重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值？并求出这个最大值.
在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、：△MNB的面积是否存在最大值?若存在，求此时点M的坐标;若不存在，请说明理由。
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10。（青岛)已知：如图，在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s;同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t(s）（0＜t＜5），解答下列问题:
(1）当t为何值时,点E在∠BAC的平分线上？
（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由;
（4）连接OE,OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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11。（怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB,O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l:y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．