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二阶线性偏微分方程的一般形式：
其中
是自变量
的函数，假如f=0，则方程是线
性齐次方程，否则方程是非线性
齐次方程。
§ 两个自变量方程的化简
一般形式：
其中
只是x，y的函数。如下讨论时
是实数。作变量代换如下：
（1）
假定
则在上式代换下方程（1）变为
（2）
其中系数：
（3）
从（3）中可以看出，假如取一阶偏微分方程
（4）
的一种特解作为
，则
从而A11=0。假如取（4）的此外一种特解作为
则A22=0，这样方程（2）就可以简化。
一阶偏微分方程（4）的求解可以转化为常微分
方程的求解，将（4）改写成：
假如将
看作定义隐函数
的方程，则
从而有：
（5）
常微分方程（5）叫做二阶线性偏微分方程的特
征方程。特征方程的一般积分
和
叫做特征线。
（5）的解为：
（6）
若
，二阶线性偏微分方程为双曲型方程
若
，二阶线性偏微分方程为抛物型方程
若
，二阶线性偏微分方程为椭圆型方程
1：双曲型
当
时，（6）式给出一族实的特征
曲线
取
则
，这时方程变为
若再作
则上述方程变为：
（7）
2：抛物型
当
，这时（6）式只有一种解
它只能给出一种实的特征线，
。取与
函数无关的
作为另一种新的变量
则有
（3-8）
3：椭圆型
当
时，（6）式各给出一族复特征线
，
在该变换下：
且方程化为：
令
则有：
（9）
由前面的讨论可知，方程(1)通过自变量的可逆变换化为那一种原则形式，重要决定于它的主部系数。
若方程(1)的主部系数 在区域Ω中某一点(x0，y0)满足
则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；在邻域；在Ω中
则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。
则称方程在点(x0，y0)是抛物型的;
对应地， (7)、(8)和(9)这三个方程分别称为双曲型、抛物型和椭圆型(二阶线性)偏微分方程的原则形式。
§ 方程的分类