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第二章 函数、导数及其应用
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考 纲 要 求
1．了解组成函数要素，会求一些简朴函数定义域和值域；了解映射概念．
2．在实际情境中，会依据不同需要选择恰当方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简朴分段函数，并能简朴应用．
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课 前 自 修
知识梳理
一、映射概念
1．映射定义：设A，B是两个非空集合，假如按照相应法则f，对于集合A中任意一个元素，在集合B中都有________元素和它相应，那么这样相应叫做集合A到集合B映射，记作f：A→B.
2．一一映射：在集合A到集合B映射中，若B中任意一个元素在A中有唯一元素与它相应，那么这样映射叫做从集合A到集合B一一映射．
唯一
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3．象与原象：对于给定一个集合A到集合B映射，且a∈A，b∈B，元素a与元素b相应，那么元素b叫做元素a________，元素a叫做元素b________．设原象a构成集合为M，则M与A关系为________，设与原象a相应象b构成集合为C，则C与B关系为________．
二、函数概念
1．函数定义：设A，B是非空数集，假如按照某种拟定相应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一拟定数f(x)与它相应．那么就称f：A→B为从集合A到集合B一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.
象
原象
M＝A
C⊆B
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其中x叫做自变量．自变量x取值范围(数集A)叫做函数定义域，与x值相对应y值叫做函数值，全部函数值组成集合 C＝ 叫做这个函数值域．显然值域C⊆B.
2．用映射观点来定义：假如A，B都是非空数集，那么从A到B映射f：A→B叫做A到B函数．原象集合A叫做函数________，象集合C叫做函数值域．显然值域C⊆B.
注意：两种定义即使表述不同，但其实质是相同．
定义域
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3．函数三要素：________，________，，由于________可由________和________唯一拟定，故也可说函数只有两要素．
4．两个函数能成为同一函数条件是：定义域与相应法则都相同．
三、函数表示
1．函数表示办法．
表示函数办法，惯用有解析法、列表法和图象法三种．
(1)解析法：就是把两个变量函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数解析表示式，简称解析式．
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量函数关系．
(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间关系．
定义域
相应法则
值域
值域
定义域
相应法则
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2．函数解析式惯用求法．
(1)配凑法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)赋值法．
四、函数定义域确实定
1．定义域是函数灵魂，因此在研究函数时一定要遵循“定义域优先”原则．
而拟定函数定义域原则是：
(1)当函数y＝f(x)是用表格给出时，函数定义域是指表格中实数x集合；
(2)当函数y＝f(x)是用图象给出时，函数定义域是指图象在x轴上投影所覆盖实数x集合；
(3)当函数y＝f(x)是用解析式给出时，那么函数定义域就是指使这个式子故意义所有实数x集合；
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(4)若y＝f(x)是由实际问题给出时，则函数定义域由实际问题意义拟定．
2．由解析式表示函数定义域求法．
(1)若f(x)是整式，则函数定义域是实数集R；
(2)若f(x)是分式，则函数定义域是使分母不等于0实数集；
(3)若f(x)是二次(偶次)根式，则函数定义域是使根号内式子不小于或等于0实数集合；
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(4)若f(x)是对数式，则函数定义域是使真数式子不小于0且底数不小于0并不等于1实数集合 ；
(5)若f(x)是指数式，则零指数幂底数不等于零；
(6)若f(x)是由几种部分数学式子构成，则函数定义域是使各部分式子都故意义实数集合；
(7)含参问题定义域要分类讨论．
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五、分段函数
1．分段函数定义：在其定义域不同子集上，分别用几个不同式子来表示对应关系函数，叫做分段函数．它是一类较特殊函数．
2．分段函数是一个函数，而不是几个函数．若函数为分段函数，则分别求出每一段上解析式，再合在一起．
3．因分段函数在其定义域内不同子集上，其对应法则不同而分别用不同式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量值所在子集，而代入对应解析式去求函数值，不要代错解析式．
4．分段函数定义域等于各段函数定义域并集，其值域等于各段函数值域并集．
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