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高三理科数学 第1页 （共10页）
2016届第一学期期中考试
2015．11
高三理科数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．已知集合，集合，则 ▲ ．
2．已知是复数，是虚数单位，若，则= ▲ ．
3．已知命题则命题的否定是 ▲ ．
x＞1？
开始
输入x
结束
y=x2－1
输出y
是
否
y=log2 x
第5题图
4．函数的定义域是，则函数的定义域
为 ▲ ．
5．执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数的个数为 ▲ ．
6．已知，则 ▲ ．
7．若实数，满足约束条件，则的取值范围是 ▲ ．
8．已知向量，设，，若，
则实数k的值为 ▲ ．
9．已知函数的图象与直线的三个交点的横坐标分别为、、，其中，那么的值为 ▲ ．
10．已知、为正实数，且，则的最小值为 ▲ ．
11．设函数，，，，使得，则实数的取值范围是 ▲ ．
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12．已知非零向量，满足，则与的夹角为 ▲ ．
13．已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，则满足的实数的取值范围是 ▲ ．
14．定义域为的偶函数满足对，有，且当 时，，若函数在R上至少有四个零点，则的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
在中，的对边分别为，且.
⑴ 求的值;
⑵ 若，，求和.
16．（本题满分14分）
如图，在矩形中，，点是边的中点，点在边上．
⑴ 若是对角线的中点， ，求的值；
⑵ 若，求线段的长．
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高三理科数学 第4页 （共10页）
17．（本题满分14分）
如图所示，AB是半径长为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形ABCD，设梯形ABCD的面积为.
⑴ 设，将表示成的函数关系式并写出其定义域；
⑵ 求梯形ABCD面积的最大值.
18．（本题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，点在单位圆上，，
且．
⑴ 若，求的值；
⑵ 若也是单位圆上的点，且．过点分别做轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为．设，求函数的最大值．
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19．（本题满分16分）
已知点(p，q)是平面直角坐标系上一点，是方程的两个实根，
记（表示中的较大值）.
⑴ 过点作抛物线L：的切线交y轴于点B，对线段AB上的任一点Q(p，q)，求的值；
⑵ 设，当点(p，q)在区域D上运动时，求的最小值和最大值.
20．（本题满分16分）
已知函数．
⑴ 求的单调区间；
⑵ 若在上的最大值是，求的值；
⑶记，当时，若对任意，总有成立，试求的最大值.
高三理科数学参考答案及评分意见
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1． 2． 3．
4． 5．2 6． 7．
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高三理科数学 第6页 （共10页）
8． 9． 10． 11．
12． 13． 14．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分）
15．（本小题满分14分）
解：⑴由正弦定理得，，，
又，∴，…………………2分
即，∴， …………………4分
∴，又，∴ . …………………7分
⑵由得，又，∴ …………………9分
由，可得， …………………11分
∴，即，∴. …………………14分
16．（本题满分14分）
【解】：⑴∵，…………………4分
∴ …………………6分
∴． …………………7分
⑵设，则，
∴，
， …………………10分
又，
∴= ， ∴， …………………12分
∴，即DF的长为1． …………………14分
也可以建立平面直角坐标系，表示出与的坐标，阅卷根据情况酌情给分.
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高三理科数学 第7页 （共10页）
17．（本题满分14分）
解：⑴解：如图所示，以直径所在的直线为轴，线段中垂线为轴，建立平面直角坐标系，过点C作于E，
∵，∴， …………………2分
∴
…………………6分
(说明：若函数的定义域漏写或错误，则扣2分)
⑵(方法1)∴，
令，
则，…………………10分
∴当时，，∴函数在(0，)上单调递增，
当时，，∴函数在(，1)上单调递减， ……………12分
所以当时，有最大值，
答：梯形面积的最大值为平方米． …………14分
(方法2)，………10分
∴当时，，∴函数在(0，)上单调递增，
当时，，∴函数在(，1)上单调递减，………………12分
所以当时， ，
答：梯形ABCD面积的最大值为平方米．…………………………14分
18．（本题满分16分）
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解：⑴由三角函数的定义有 …………………2分
∵，
∴， …………………4分
∴
．…………………7分
⑵由，得．
由定义得，，又，
于是，，…………………10分
∴ =
=== …………………14分
，即．…………………16分
19．（本题满分16分）
解：⑴ ，直线AB的方程为，
即， …………………………2分.
，方程的判别式，
两根或， …………………………4分
，，． …………………………6分.
⑵解方程组，得交点，
可知，， …………………………8分
方程的两根为，
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，.…………………………10分
又，即， ，
当时， ，； …………………………13分
，，
又单调递增，当时，，
． …………………………16分
20．（本题满分16分）
解：⑴的定义域是．．
当时，，故在上是增函数； …………………………1分
当时，令，则，（舍去）
当时，，故在上是增函数；
当时，，故在上是减函数．…………………………3分
故当时，的增区间是；
当时，的增区间是，减区间是．…………………………4分
⑵①当时，在上是增函数，故在上的最大值为，
显然不合题意； …………………………5分
②若，即时，，则在上是增函数，故在上最大值为，不合题意，舍去； …………………………6分
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③若，即时，在上是增函数，在上为减函数，故在上的最大值是，解得：，符合．
综合①、②、③得：． …………………………8分
⑶，则，当时，，故当时，在上为减函数． …………………………10分
不妨设，则，故等价于，即．
记，从而在上为减函数，…………………………12分
由得：
，故恒成立，…………………………14分
，又在上单独递减，
，，.
故当时，的最大值为4. …………………………16分