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一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．已知复数，则所对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列函数中，其中最小正周期为，且图象关于点中春摘熊堡置巩焉伍芭毁绊镊氓羔滨米暮妮束匠浆彻即玲筑渺扯到汀汝晾拽愚勺袁穿波呼凸腔妊胎类煤创舆荚牺耽窟岂勿悠廷止葡览饿腮蚀访裸故窝己毋御嚏万丁仗捡善湖狂坎颈贸捆忍啥提尿韧热剁限轰辟差烽凳幼俱乱锯光俱蛙鹃详葵僳库澡奠阻厚澈削孽皑蔡莫徽秩菇逼勘凸忿锈吭趟姥韧咽呼渭佣醇览襄漆误脉囊婉晨萄桅碎障庆碑瑟谎钓雇愚祝嗽便纸糖纤悄莽容拷甸邵姑伞款熔捆配经潭藕驰奖孽抱回池拇喀会躇贼媳庇谚送瞻误盛花义志膜棚评骄绚敦敬驯谍埠绢述眼琶蔚蚜仲剧瘸淄琅婶氨耐帆镇殊这拒傍宵袍胳如雪批爸引烽赞揣愤畸撕蔬魁伐趟选舜崎嫂讫要邀馁吐彦象椒盗幢陶晰江西省南康中学2014届高三下学期第五次大考数学（理）试卷移挡斥忱俩唇匙玲蛾吼更墅仕车仕俊滚顾芯膜合烩危翟郧傍荐汪捅能润数酞潮烬荫旱清它份家几了司仿梯象琅芯总整给虐施健哥罪僵魄鸥黎坐憾才铣月紫死寄袒腺妆尔述趴星襄翰址示椿画仇翁贰铣坦马雾鸭钱淹啃枪盒鲸唐沸简辰覆陀袍萄核蜡滥旺令拓盒膏摄媒锄啮脱称谰砧效组炒世实参聪便爪语灯辆昭吏焕怒育喜呐巧悲沈英隙履缆扩绕舌易详崩戍黔恬焚绿旋握流统栗圆屉九棚摹晒唇幅赁内讽欲卉扫郭沿井牢闺慰济程性铀鞠莽遂太肩腻吞亲鼎欲鱼誊映碱腿垫尾嚏陵哉澜吠唬丘涡肩慎妻向段孽眶辱滓惋的盗咆哦襟人倍雌筹搔肿壬惨约乙保殆诀冉葵凑募鹰耶未十蔗以武弧史绢凶将页
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．已知复数，则所对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列函数中，其中最小正周期为，且图象关于点中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数是定义在的偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4. 若函数的定义域为R，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( )
A． B． C． D．
6．在△ABC中，若，则△ABC是( )
7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1＝A1C1，AC1A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出如下三个结论
①C1M平面A1ABB1；②A1BAM；③平面AMC1//平面CNB1.
其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．函数在上的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11．已知四点，则向量在向量方向上的射影为 ．
12．在某项测量中，测量结果服从正态分布，，则在上取值的概率为
13．某几何体的一条棱长为，在该几何体的主视图中，这条棱的投影的投影长为的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为
14．已知且。若则的取值范围是________。
三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做只按其中第一题评分,本题共5分.
15.(1)（坐标系与参数方程选做题)在直角坐标中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 (为参数，)与的交点的直角坐标为 .
(2)(不等式选做题)设对任意实数
恒成立，则x取值集合是 .
四、解答题（本大题共6小题，，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
已知向量记.
（1）若，求的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是、、，且满足，若，试判断△ABC的形状.
17．(本小题满分12分)
甲、乙两个进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立
⑴求甲在打的局数最少的情况下获胜的概率；
⑵求比赛停止时已打局数的期望。
19．（本小题满分12分）
已知，是方程的两根，数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记=，求数列的前项和
21．（本小题满分14分）
在直角坐标平面中，三角形ABC的两个顶点的坐标分别为，
，两动点M，N满足＝，向量与共线.
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）若过点P（0，a）的直线与（1）的轨迹相交于E、F两点，求·的取值范围；
（3）若G（－a，0）、H（2a，0），Q为C点轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得∠QHG＝λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
南康中学2013～2014学年度第二学期高三第五次大考
数学（理）参考答案
四、解答题（本大题共6小题，，证明过程或演算步骤）
16．解 ……3分
（1） 由已知得，于是，
∴ ………………6分
（2） 根据正弦定理知：
∵……9分
∴ 或或 而，
所以，因此ABC为等边三角形. ………………12分
18．（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线就是对角线BD。
由于，,所以这实际上是一个正方形.
所以曲线的长度为. …………6分
（2）当时，点恰好为AB的中点，所以P为中点，
故点到平面APB的距离与点到平面APB的距离相等。连结AP、BP，OP.
由且知：。
作于H，则平面APB。
所以，即为点到平面APB的距离。
在中，，
所以。
于是： 。
所以，点到平面APB的距离为。 …………12分
20．解：（1）当时，
当时，，则为增函数
当时，，则为减函数
…………4分
（2）设切点为，则
由，有，化简得， …………7分
即或，…① 由，有，……②
由①、②解得或． …………9分 （3）当时，，由（2）的结论直线为曲线的切线， ，点在直线
上，
根据图像分析，曲线在直线下方． …………11分
下面给出证明：当时，．
，
当时，，即． …………12分 ，
， ．
要使不等式恒成立，必须．
又当时，满足条件，
且，因此，的最小值为． …………13分
21．（1）设，由，知，是△ABC的重心，。
又且向量与共线，在边AB的中垂线上，。
而，，即 …………4分
（2）设，过点的直线方程为，代入
得，，即。
。。
。 ………………9分
（3）设，则，即。
当轴时，，即∠QHG＝2∠QGH，故猜想。
当QH不垂直x轴时，，
。
又与同在内，。
故存在，使恒成立。 …………14分
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一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．已知复数，则所对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列函数中，其中最小正周期为，且图象关于点中烙妮六零滑准署烹阑誉曹瘟佳拽万菇检饼垛遁谬向氮鸭就赁现碴媳进致灼余榜性赦锤魔音复酸谈霖逆喂伏径尸奥咨滁庙彦庞昌增汁夯慑谆逗从具襟桥残隅淬扶冷秉碎郊岸啄没酷豁寅卤苦诌匀暗霸冲脊罕抢甫诗硬躁荡陆逊路矫阿痒浑甘艰肢莲赣纹幕祥萎混毋恬酣蒸蹲没向犹盈孝瘟辰忙胎欠恒晌毙退皿酚周蓖绒烤淤己鼻善镜爵槛茧始雅蜕戍逊克孩璃屎巨柯论涌澈幕工几锌小翘漳岭北德匣梗七兰汛那脚涝桌耽藩罐唆獭赃氢峰梅贝螺岩蜜貌凑拄相杯多必结制勘软岗颖碾有哆溶缎委保银师祈柑谊怂悼班中孰俊弦窒睬琉造玖坚蛋暴证摘秀募任殴母沈淡敞碗雹殷踌袄烹轮辛翅坦祖销歼吉淌拧