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甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击中命中环数与次数记录如下：
环数
8
9
10
次数
30
10
60
环数
8
9
10
次数
20
50
30
甲
乙
试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？
甲平均射中的环数为：
乙平均射中的环数为：
(8×30+9×10+10×60)÷100=8×+9×+10×=(环)
(8×20+9×50+10×30)÷100=8×+9×+10×=(环)
因此从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。
一、离散型随机变量的数学期望
上述平均环数的计算可表示为
我们称之为随机变量X的数学期望，或均值。
数学期望——描述随机变量取值的平均特征
设X是离散型随机变量，其分布律为
X~P(X=xi)=pi, i=1,2,…,n，
如果级数
绝对收敛，
并称级数
的和为随机变量X的数学期望，记作
则称X的数学期望存在，
E(X)，即
则称随机变量X的数学期望不存在。
注意：随机变量X的数学期望E(X)完全是由X的分布律确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因此要求级数
绝对收敛。若级数
不绝对收敛，
设随机变量X服从二项分布B(n,p),求数学期望E（X）?
解： X的概率函数为
则
k=m-1
设X是连续型随机变量，概率密度函数为f(x),
二、连续型随机变量的数学期望
若积分
绝对收敛，则称X的数学期望存在，
且称积分
为随机变量X的数学期望，记为E(X)
即
数学期望简称期望或均值。
n维随机向量的数学期望定义为各分量的期望构成的
向量.
设有5个相互独立的元件，其寿命服从参数为θ>0的指数分布，其概率密度为
(1)若将5个元件组成一个串联系统，求该系统的平均寿命；
(2)若将5个元件组成一个并联系统，求该系统的平均寿命；
解 (1)设Xk表示第k个元件的寿命，k=1,2,3,4,5，则X1, X2, X3, X4, X5相互独立，且Xk~f(x)，同分布。
记Y为串联系统的寿命，则Y=min(X1, X2, X3, X4, X5)，分布函数为
密度函数为
所以数学期望为
(2) 记Z为并联系统的寿命，则Z=max(X1, X2, X3, X4, X5)， Z的分布函数为
密度函数为
所以数学期望为
从本例可知：同样5个组件，。
设随机变量X服从
(-∞<x<+∞)
试讨论E(X)。此分布称为Cauchy分布。
解
此广义积分发散，因此数学期望E(X)不存在。
注意这里
三、随机变量函数的数学期望
设随机变量Y是随机变量X的函数，Y=g(X)(g(•)为连续函数)
(1)设X为离散型随机变量，其分布律为P(X=xi)=pi,i=1,2,…
若级数
绝对收敛，则Y的数学期望存在，且
(2)设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，
若积分
绝对收敛，则Y的数学期望存在，且
此定理说明，在求随机变量X的函数Y=g(X)的期望时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布即可。
(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，g(•,•)是连续函数。
(1)设(X,Y)是离散型随机变量，分布律为
P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…
则当
绝对收敛时，Z的数学期望存在，且
(2)设(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，则当
绝对收敛时，Z的数学期望存在，且