文档介绍：高中数学第三章数系的扩充与复数的引入复数代数形式的四则运算(第1课时)课堂探究新人教A版选修2-2
探究一复数的加法与减法运算
、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.
:若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.
【典型例题1】计算:
(1)(3+5i)+(3-4i);
(2)(-3+2i)-(4-5i);
(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i).
解:(1)(3+5i)+(3-4i)=(3+3)+(5-4)i=6+i;
(2)(-3+2i)-(4-5i)=(-3-4)+[2-(-5)]i=-7+7i;
(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=(5-2-3)+[-6+(-2)-3]i=-11i.
探究二复数加、减法运算的几何意义
、减法运算的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关,因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时,主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算.
,因而可将复数问题转化为向量问题,利用向量的方法解决复数问题.
【典型例题2】复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
思路分析:利用,或者,求点D对应的复数;也可以利用正方形的性质求解,正方形的两条对角线的交点是其对称中心.
解法一:如图,设复数z1,z2,z3所对应的点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,y∈R).
则=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,
=(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.
因为,
所以(x-1)+(y-2)i=1-3i,
所以解得
故点D对应的复数为2-i.
解法二:设复数z1,z2,z3所对应的点分别为A,B,C,
正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,y∈R).
因为点A与点C关于原点对称,
所以原点O为正方形的中心,
所以点O也是点B与点D连线的中点,
于是(-2+i)+(x+yi)=0,
所以x=2,y=-1,
故点D对应的复数为2-i.
探究三复数加、减法几何意义的应用
1.|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义
设复数z,z0在复平面内分别对应点A,B,则|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是点A到点B的距离.
2.|z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用
(1)判断点的轨迹.
(2)利用几何知识解决代数问题.
【典型例题3】设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.
分析:解法一:设出z1,z2的代数形式,利用模的定义求解.
解法二:利用复数加减运算的几何意义求解.
解法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).
由题设知,a2+b2=1,c2+d2=1,
(a+c)2+(b+d)2=2,∴2ac+2bd=0.
∴|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2
=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=2,
∴|z1-z2|=.
解法二:设复数z1,z2,z1+z2分别对应向量,,.
∵|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,
∴平行四边形OZ1ZZ2为正方形,
∴|z1-z2|===.
探究四易错辨析
易错点:对复数模的几何意义掌握不到位而导致出错
【典型例题4】已知|z-2+2i|=|z|,则复数z对应的点Z的轨迹方程为________.
错解:∵|z-2+2i|=|z|表示点Z到点A(-2,2)和点B(0,0)的距离相等,∴点Z的轨迹为线段AB的垂直平分线,即y=x+2.
错因分析:|z-2+2i|表示的应该是点Z到点(2,-2)的距离.
正解:∵|z-2+2i|=|z|表示点Z到点A(2,-2)和B(0,0)的距离相等,∴点Z的轨迹为线段AB的垂直平分线,即y=x-2.