文档介绍：****题 :
在用有限元法求解时, 边界条件总是满足的, 控制方程的不完全匹配, 会产生误差。题中所
23
给出的近似函数: φ a+ ax+ a x+ a x ,应该满足边界条件,对于情况(1 ) ,代入边
0 1 2 3
2
1aL a L
12
界条件可得 aa 0, ,从而
03
3
L
3 3 3
x xx
2
φ ax ? + a x?+ (1 )
12
23
L LL
3
x
上式中的最后一项前面没有待定系数,这是由于使用了在 xL 处φ1 的强制边界条件。
3
L
从物理意义上说,相当于给定边界条件的解为齐次方程的通解加一个特解的缘故。将(1 )
式代入教材( )式,得到残量:
x 66 xx
R x a ?6 + a 2? + + Qx
12
23
L LL
不同的求解方法, 如配点法、子域法和伽辽金法, 只是残量在某种意义上某个区域加权积分
为零。
配点法强制残量 Rx 在有限个点严格为零, 点的个数取决于未知数个数, 这里为 2 , 通常取
所选的点在域内均匀分布,则取 xL/3 和 x2L/3 处,Rx0, 这样得到
LL 2
R 0 , R 0 ,从而可以解出待定系数 aa , 。带入(1 )式可以得到φ。
12
33
配点法仅考虑了有限个点的局部特性,子域法则要求在有限个子域内残量的积分
i
R x dx 0 为零, 子域的个数仍然取决于未知函数个数, 通常选取各子域的并集为整个
∫i
待求区域, 一般情况可以选择各子域大小相同, 但对于某些局部变化较复杂的区域, 可以缩
小子域的大小,使得子域分布更合理。例如取子域为 x |0≤≤ x L /2,? x | L /2≤≤ x L ,则利用 R x dx 0, R x dx 0 ,
12
∫∫
12
可以求出待定系数 aa , 。
12
伽辽金法作为加权余量法的特殊形式,权函数选择为插值函数 NN , ,
12
33
xx
2
这里 N x x? , N x x? , 这样, 利用 N x R x dx 0,i 1,2 可以求出待
12 i
2 ∫LL
定系数 aa , 。
12
对于其余边界条件情况可依此类推。
练****题 , 注意近似函数要满足边界条件,从而可知截面及坐标系如图所示:
, 很多同学把积分区域弄错了, 也有不少同学计
算错误。这里, 由于边界为零, 采用泛函及其弱形式得到的积分结果是相同的。最终计算得
4 4 4
到:a 4608/13 π, a -512/15 π, a -1536/85 π。
1 2 3
练****题 , 泛函的欧拉方程基本没太多问题,泛函为零得到边界条件:
L
23?
d w dw d w?
δδ? w 0 23dx dx dx0
2
22
L?
EI d w kw
如有一问题的泛函为∏ w+ + qw dx ,其中 E, I, k 是常数,q?
2
∫
0
22 dx?
是给定函数,w 是未知函数,试导出原问题的微分方程和边界条件22
Ldwdw?
δ∏ w EI δ+ kwδδ w+ q w dx
∫ 22
0
dx dxL
2 2 2 3
LLd w dδδ w d w d w d w dδ w
EI dx EIEI dx2 2 2 3
∫∫
00
dx dx dx dx dx dx0LL
2 3 4
L
dw d δ w d w dw
EI ?+ EIδδ w EI wdx
2 3 ∫ 4
0
dx dx dx dx
00
22 4
LL dwdw dwδ∏ w EI δ+ kwδδ w+ q w dx EI + kw+ qδ wdx
∫∫ 22 4
0 0
dx dx dxLL
23
d w d δ w d w
+ EIEI δ w
23
dx dx dx
00
4
dw
微分方程: EI + kw+ q 0
4
dx
2 2 33
dw dw d w d w
边界条件: 0 , 0
2 2 33
dx dx dx dx
x 0 xL x 0 xL 分强制边界和自然边界。
补充题
试作加权余量发的最小二乘配点法,并给出所得到的求解方程系数矩阵的特点分析。
(最小二乘配点法思路是, 利用使求解域内所选各点处误差平方的总和为最少的条件, 去建
立求解试函数系数的方程。配点法是强迫余量误差在所选点上为 0 , 最小二乘配点法则是余
量在所选点上的误差,满足平方和最小。)
解:近似函数为u x N xa ,