有限单元法课后习题全部答案 王勖成.pdf

文档介绍：:在用有限元法求解时,边界条件总是满足的,控制方程的不完全匹配,会产生误差。题中所给出的近似函数:23,应该满足边界条件,对于情况(),代入边φ=++a01axax2+ax311−−aLaL2界条件可得aa=0,=12,从而03L3x3xx33φ=ax(−+)(ax2−+)(1)12L23LLx3上式中的最后一项前面没有待定系数,这是由于使用了在x=L处φ=1的强制边界条件。L3从物理意义上说,相当于给定边界条件的解为齐次方程的通解加一个特解的缘故。将(1)式代入教材()式,得到残量:x66xxRx()=−a(6)+a(2−)++Qx()12L23LL不同的求解方法,如配点法、子域法和伽辽金法,只是残量在某种意义上某个区域加权积分为零。配点法强制残量R(x)在有限个点严格为零,点的个数取决于未知数个数,这里为2,通常取所选的点在域内均匀分布,则取x=L/3和x=2L/3处,R(x)=0,这样得到LL2RR()0,=()0=,从而可以解出待定系数aa,。带入(1)式可以得到φ。3312配点法仅考虑了有限个点的局部特性,子域法则要求在有限个子域内残量的积分ΩiR()xdx=0为零,子域的个数仍然取决于未知函数个数,通常选取各子域的并集为整个∫Ωi待求区域,一般情况可以选择各子域大小相同,但对于某些局部变化较复杂的区域,可以缩小子域的大小,使得子域分布更合理。例如取子域为Ω={x|0≤≤xL/2},Ω={xL|/2≤≤xL},则利用R()xdx=0,R()xdx=0,12∫∫ΩΩ12可以求出待定系数。aa12,伽辽金法作为加权余量法的特殊形式,权函数选择为插值函数,NN12,xx33这里Nxx()=−=−,Nxx()2,这样,利用N()xR()xdx=0,i=1,2可以求出待12LL2∫Ωi定系数。aa12,对于其余边界条件情况可依此类推。,注意近似函数要满足边界条件,从而可知截面及坐标系如图所示:,很多同学把积分区域弄错了,也有不少同学计算错误。这里,由于边界为零,采用泛函及其弱形式得到的积分结果是相同的。最终计算得444到:a1=4608/(13π),a2=-512/(15π),a3=-1536/(85π)。,泛函的欧拉方程基本没太多问题,泛函为零得到边界条件:Ld23wdwdwδδ−=w0dx23dxdx0222LEI=()w++qwdx,其中E,I,k是常数,q∫0222dx是给定函数,w是未知函数,dwdwδΠ=()wEIδ+kwδδw+qwdx∫220dxdx222L3LLdwdδδwdwd()wdwd()δwEIdx=EI−EIdx∫∫002223dxdxdxdx0dxdx2LL34dwd()δwdwLdw=EI−+EIδδwEIwdx234∫0dxdx00dxdx224LLdwdwdwδΠ()w=EIδ+kwδδw+qwdx=EI++kwqδwdx∫∫22400dxdxdxLLd23wd()δwdw+−δEI23EIwdxdx00dxdw4微分方程:EI+kw+=q0dx4dw22dwdw33dw边界条件:==,==220330dxx=0dxxL=dxx=0dxxL=分强制边界和自然边界。补充题试作加权余量发的最小二乘配点法,并给出所得到的求解方程系数矩阵的特点分析。(最小二乘配点法思路是,利用使求解域内所选各点处误差平方的总和为最少的条件,去建立求解试函数系数的方程。配点法是强迫余量误差在所选点上为0,最小二乘配点法则是余量在所选点上的误差,满足平方和最小。)解:近似函数为ux()=N()xa,不失一般性ii余量为:最小二乘配点法取权函数Rx()=−=Au()fx()ANxa(ii())−fx()∂w=ANa()(δx−≥x)其中j=1,...,n;k=1,...,m且mnj∂aiikj加权余量要求wRdΩ=0∫Ωj∂wRdΩ=AT(N()xa)(δx−x)[(AN()xa)−f()]xdΩ∫∫ΩΩjiikii∂aj=AT(N())(xδx−x)[(AN()xa)−Ωf()]xd∫Ωjkiim=T−∑{A(Njk())[(())xANikixaf()]xk}k=1mmTT=∑∑ANANa()()jii−ANf()jkk=11==Ka-P()写成矩阵形式m因此,T,系数矩阵对称,且无需积分。kij=∑A(Nj)(ANi)=kjik=1