文档介绍：《线性代数(理)》综合复****资料
第一章阶行列式
一、选择填空题:
1、排列的逆序数为______________。
2、行列式中,元素的代数余子式为。
3、设行列式,则。
4、设行列式,则。
5、个方程、个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件是。
6、设均为3阶方阵,且,则。
7、设均为3阶方阵,且,则。
8、已知多项式,则的最高次数是。
9、设为3阶矩阵且行列式,则下列说法正确的是( )
(1)矩阵中必有一列元素等于0;
(2)矩阵中必有两列元素对应成比例;
(3)矩阵中必有一列向量是其余列向量的线性组合;
(4)矩阵中任一列向量是其余列向量的线性组合。
10、下列说法错误的是( )
(1)若阶线性方程组的系数矩阵行列式,则该方程组存在唯一解;
(2)若阶线性方程组的系数矩阵行列式,则该方程组只有零解;
(3)一个行列式交换两列,行列式值不变;
(4)若一个行列式的一列全为零,则该行列式的值为零。
二、计算下列行列式
1、;
2、
3、;
4、;
5、;
6、;
7、;
8、;
9、;
10、;
第二章矩阵
一、选择填空题
1、设,则的秩。
2、设,则的秩。
3、设均为3阶方阵,且,则。
4、设,,则。
5、设,则。
6、设和皆为阶方阵,则下面论断错误的是( )
(1); (2);
(3),其中为的伴随矩阵;(4)如果,则或。
7、设是阶矩阵,是阶可逆矩阵,矩阵的秩为,矩阵的秩为,则下列结论成立的是( )。
(1);(2);(3);(4)与的关系不定。
8、下面论断错误的是( )。
(1)若干个初等阵的乘积必是可逆阵;(2)可逆阵之和未必是可逆阵;
(3)两个初等阵的乘积仍是初等阵; (4)可逆阵必是有限个初等阵的乘积。
9、设阶实方阵满足关系式,其中为阶单位矩阵,则下列关系式成立的是( )
(1);(2);(3);(4)。
10、设,,,
则下列等式正确的是( )
(1);(2);(3);(4)。
二、计算证明题
1、设矩阵和满足关系式,且已知,求矩阵。
2、已知,其中,,求矩阵。
3、设为3阶矩阵,为3阶单位矩阵,满足关系式,且已知,求矩阵。
4、设为阶矩阵,满足,(1)证明可逆;
(2)若,求矩阵。
5、设矩阵,矩阵满足,其中是的伴随矩阵,求矩阵。
6、已知三阶矩阵的逆矩阵为,试求伴随矩阵的逆矩阵。
7、已知且,其中是三阶单位矩阵,求矩阵。
8、设方阵满足,证明及都可逆,并求及。
9、已知可逆(其中为单位矩阵),试证也可逆,且有
。
第三章向量组的线性相关性和秩
一、选择填空题
1、设向量组线性无关,则当_____ 时,向量组,,
线性相关。
2、已知向量组,,,
,则该向量组的秩为。
3、已知向量组,,的秩为2,则。
4、关于最大无关组,下列说法正确的是( )
(1)秩相同的向量组一定是等价向量组;
(2)一个向量组的最大无关组是唯一的;
(3)向量组与其最大无关组是等价的;
(4)如果向量组所含向量的个数大于它的秩,则该向量组线性无关。
5、设矩阵的秩为,则下列说法错误的是( )
(1)矩阵存在一个阶子式不等于零;
(2)矩阵的所有阶子式全等于零;
(3)矩阵存在个列向量线性无关;
(4)矩阵存在个行向量线性无关。
6、对于线性相关和线性无关,下列说法错误的是( )
(1)所含向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关;
(2)如果一个向量组线性无关,则该向量组中一定不包含零向量;
(3)如果一个向量组线性相关,则至少存在一个向量可以由其它向量线性表示;
(4)如果阶方阵的行列式为零,则该矩阵的列向量组一定线性无关。
7、维向量组线性无关的充要条件是( )
(1)存在一组不全为零的数,使得;
(2)中存在一个向量,它不能用其余向量线性表示;
(3)中任意两个向量都线性无关;
(4)中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
8、向量组线性无关的充分条件是( )
(1)均不为零向量;
(2)中任意两个向量的分量不成比例;
(3)中任意一个向量都不能用其余个向量线性表示;
(4)中有一部分向量线性无关。
9、已知向量组线性无关,则下列说法正确的是( )
(1)线性无关;
(2)线性无关;
(3)线性无关;
(4)线性无关。
10、下列说法错误的是( )
(1)矩阵的秩等于该矩阵的行向量组的秩;
(2)矩阵的秩等于该矩阵的列向量组的秩;
(3)一个阶方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关;
(4)相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值。
二、计算证明题
1、已知向量