文档介绍：通识教育必修课程——线性代数
第五章相似矩阵
第三讲相似矩阵
第五章相似矩阵
第三讲相似矩阵
一、相似矩阵
二、矩阵的对角化
三、小结
通识教育必修课程——线性代数
一、相似矩阵
定义:设 A, B 都是 n 阶矩阵,若有可逆矩阵 P 满足
P −1AP = B ,
则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵,或称矩阵A 和 B 相似.
对 A 进行运算 P −1AP 称为对 A 进行相似变换.
称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
通识教育必修课程——线性代数
定理:若 n 阶矩阵 A 和 B 相似,则 A 和 B 的特征多项式相同,
从而 A 和 B 的特征值也相同.
证明:根据题意,存在可逆矩阵 P ,使得 P −1AP = B .
于是
| B −λE | = | P −1AP − P −1(λE) P | = | P −1(A−λE ) P |
= | P −1| |A−λE | |P | = |A−λE | |P | .
通识教育必修课程——线性代数
推论:若 n 阶矩阵 A 和 B 相似,则 A 的多项式ϕ(A) 和 B 的
多项式ϕ(B) 相似.
证明:设存在可逆矩阵 P ,使得 P −1AP = B ,则P −1AkP = Bk .
m m−1
设ϕ(x) = cmx + cm−1x + …+ c1x + c0,那么
P −1 ϕ(A) P
−1 m m−1
= P (cmA + cm−1A + …+ c1A + c0 E) P
−1 m −1 m−1 −1 −1
= cm P A P + cm−1P A P + …+ c1 P A P + c0 P EP
m m−1
= cmB + cm−1B + …+ c1B + c0 E
= ϕ(B) .
通识教育必修课程——线性代数
推论若n 阶方阵A与对角阵
⎛λλ⎞
⎜ 1 ⎟
⎜ 2 ⎟
=Λ
⎜% ⎟
⎜⎟
⎝λn ⎠
相似则λλ21 ",,,, λn即是的nA 个特征值.
通识教育必修课程——线性代数
二、矩阵的对角化
若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵Λ= diag(λ1, λ2, …, λn ) 相似,则
ϕ
⎛⎞ϕ()λ1
ϕ⎜⎟
()
()A =Λ=PPP−−1 () 1 ⎜⎟2 P
⎜⎟ϕλ%
⎜⎟
⎝⎠()n
从而通过计算ϕ(Λ) 可方便地计算ϕ(A).
ϕλ
若ϕ(λ) = | A−λE |,那么ϕ(A) = O(零矩阵).
通识教育必修课程——线性代数
可逆矩阵 P ,满足 P −1AP = Λ(对角阵)
? :
AP = PΛ n 阶矩阵 A 和对角阵相似
当且仅当
A 有 n 个线性无关的特征向量
Ap = λ p (i = 1, 2, …, n)
i i i 推论:如果 A 有 n 个
A 的对应的不同的特征值,则 A
特征值特征向量和对角阵相似.
⎛⎞λ1
⎜⎟
λ
其中 Ap(,p,"",p)= (p,p,,p)⎜⎟2
12 nn12 ⎜⎟%
⎜⎟
⎝⎠λn
通识教育必修课程——线性代数
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵?
⎛− 221 ⎞⎛−− 212 ⎞
⎜⎟⎜⎟
)1( A = ⎜−− 422 ⎟)2( A = ⎜−− 335 ⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝− 242 ⎠⎝ 201 ⎠
解 1 −λ−λ 22
)1( 由−λEA = 22 −−− 4
242 −−λ
( )(2 λλ+−−= 72 )= 0
得λ= λ21 = λ3 = −.7,2
通识教育必修课程——线性代数
将λ= λ21 = 2代入( −λ1EA )= ,0 得方程组
⎧−−+ xxx 321 = 022
⎪
⎨ xxx 321 =+−− 0442
⎪
⎩ xxx 321 =−+ 0442
解之得基础解系
⎛2⎞⎛0⎞
⎜⎟⎜⎟
α1 =⎜0⎟, α2 =⎜1⎟.
⎜⎟⎜⎟
⎝1⎠⎝1⎠