文档介绍：元胞自动机
1 概述
元胞自动机(Cellular Automata)作为描述处理复杂系统在离散空间、时间上演化规律的算法,通常采用对晶格格座的局域或整体的确定性和概率性变换规则进行具体操作。
空间变量可以代表实空间、动量空间或波矢空间。
晶格定义为具有固定数目的点,这些点可以看作是有限差分场中的结点。
晶格一般是规则晶格, 其维数、大小可以是任意的。它表述了系统由基础实体(elementary entities)形成的构象,这些"基础实体"被认为与所用模型密切相关,它们可以是任意大小的连续体型体积单元、原子颗粒、晶格缺陷或生物界中的动物等等。
1 概述
构成系统的基本实体,可以由广义态变量(诸如无量纲数、粒子密度、晶格缺陷密度、粒子速度、颜色、血压或动物种类等)进行量化表述。在每个独立的格座,这些态变量的实际取值都是确定的。并且认为,每一个结点代表有限个可能的离散状态中的一个态。
将某些变换规则应用于每个结点状态,就会发生自动机的演化。
这些规则决定着晶格格座的状态;对于局域规则,格座状态是其前一状态及近邻格点(座)状态的函数,而在整体变换规则下,则为所有格座状态的函数。传统元胞自动机大多采用局域变换规则。
这种方法对于在规则晶格结构方面的应用是比较容易接受的。特别对于非均匀介质,在讨论的晶格区域采用较小的晶格间距比较妥当; 而且,还必须考虑对变换速率进行合理修正和重正化。
1 概述
元胞自动机以离散时间步发展演化。
经过一个时间间隔,要对所有结点的态变量值同时更新。
近年来,通过对Wolfram (1986) A)方法的合理拓展,已经建立起一批更广义的元胞自动机(GCA)方法。
后者作为元胞自动机方法的变种,它比原来的方法有更强的适应性,尤其是在计算材料学中的一些特殊应用方面优点突出。
广义微结构元胞自动机可以采用元胞或格座的离散空间格栅,这时的空间既可以是实空间,也可以是动量空间或波矢空间。然而,在空间上通常被认为是均匀的,亦即所有格座都是等价的,并被排布在规则晶格上,其中的变换规则在各处都是一样的。
1 概述
同时,像常规自动机那样,假定它们是有限个可能状态中的一个,并对所有元胞状态同步更新。此外,它们与常规自动机不同的是,格座变换既可以按照确定性定律,也可以按照概率性定律。因而,广义微结构元胞自动机在计算材料学中的发展势头日益强劲。
鉴于这些特点,元胞自动机方法为模拟动力学系统的演化提供了一种直接的手段,这些动力学系统包含有大量基于短程相互作用或长程相互作用的相似组元。对于一个简单的物理系统,时间是其唯一个独立变量(自变量)这种直接方法,就相当于对多少有些复杂的偏微分方程组,利用有限差分近似法给出其离散解。
1 概述
应该强调指出,这些元胞自动机方法对"基础实体"类型和选用的变换规则没有任何限制。它们可以对不同的处理状况进行描述,诸如:简单有限差分模拟中态变量值的分布,混合算法的色问题,“教室里的儿童健康情况" 在任何变换条件下的模糊集合元素, 以及元胞的初级生长与衰减过程等。
在计算材料学领域, 元胞自动机的变换规则般存在于有限差分、有限元,以及关于时间和2个或3个空间坐标的偏微分藕合方程组的蒙特卡罗近似之中。同时,局域变换描述近邻格座之间的短程相互作用,而整体变换规则能够处理长程相互作用。通常,根据各个态变量的取值可以给出相应格座的状态。
1 概述
元胞自动机通常被认为是离散计算方法的普遍化推广,具有更加广泛的适用性和多功能的特点。
元胞自动机并不简单地等同于普通模拟方法,例如各种有限差分法、有限元法、伊辛( Ising) 法、波茨( Potts)方法等。
这种灵活适用性是基于这样个事实:除了采用简明的数学表达式作为变量和变换规则之外,自动机还能够实际地包括任何元素或规则。
1 概述
在材料科学中,有时对常规有限差分计算方法补充一些“如果.. . 就..”规则是很有意义的。
在塑性学、断裂力学或晶体生长等领域遇到的情况。上述附加规则的方法为处理“数学上的奇点(即非光滑函数表述中的临界或自发效应)问题提供了一种简单有效的选择。这些规则经常出现在微结构模拟中:
离散位错动力学模拟经常包含有这样一个规则“如果两个反平行螺位错相互靠近到其间距小于5个伯格斯矢量时,它们就会自发淹没。
在断裂力学或弹簧模型中,会经常包含这样的规则“如果裂纹速度达到某个值,试验样品将自主损坏。
在重结晶模拟中,会经常遇到这样的规则“如果晶体局域取向误差达到某一个值,格座将满足成核的动力学非稳定性临界条件”或“局域储存的弹性能达到某个临界值,格座将满足成核的热力学非稳定性条件”。
1 概述
如果对主微分方程补充上述所说的“如果…就”的变换规则,就可以对复杂系统的动力学行为特性进行模拟。通常而言,所考查粒子之