文档介绍：弯曲法测量杨氏模量公式的推导
固体、液体及气体在受外力作用时,形状与体积会发生或大或小的改变,这统称为形变。当外力不太大,因而引起的形变也不太大时,撤掉外力,形变就会消失,这种形变称之为弹性形变。弹性形变分为长变、切变和体变三种。
一段固体棒,在其两端沿轴方向施加大小相等、方向相反的外力,其长度发生改变,。以表示横截面面积,称为应力,相对长变为应变。在弹性限度内,根据胡克定律有:

Y称为杨氏模量,其数值与材料性质有关。
以下具体推导式子: ;
在横梁发生微小弯曲时,梁中存在一个中性面,面上部分发生压缩,面下部分发生拉伸,所以整体说来,可以理解横梁发生长变,即可以用杨氏模量来描写材料的性质。
如图所示,虚线表示弯曲梁的中性面,易知其既不拉伸也不压缩,取弯曲梁长为的一小段:
设其曲率半径为,所对应的张角为,再取中性面上部距为厚为的一层面为研究对象,那么,梁弯曲后其长变为,所以,变化量为:

又;
所以;
所以应变为: ; (变化量为Dl,dx为l)
根据虎克定律有: ;
又;
所以;
对中性面的转矩为: ;
积分得: ; (1)
对梁上各点,有: ;
因梁的弯曲微小: ;
所以有: ; (2)
梁平衡时,梁在处的转矩应与梁右端支撑力对处的力矩平衡,
所以有: ; (3)
根据(1)、(2)、(3)式可以得到:
;
据所讨论问题的性质有边界条件; ;;
解上面的微分方程得到:

将代入上式,得右端点的值:
;
又;
所以,杨氏模量为:
上面式子的推导过程中用到微积分及微分方程的部分知识,作者之所以将这段推导写进去,是希望学生和教师在实验之前对物理概念有一个明晰的认识。
材料来自北京航空航天大学物理实验教学中心电子讲义