08-09线性代数B备用试卷及答案.doc

文档介绍：2008 – 2009学年第二学期《线性代数B》试卷
2009年6月22 日
一
二
三
四
五
六
总分
得分

一、填空题(共6小题,满分18分)
=(1,1,1),α2=(1,2,2),α3=(1,t,2),且α3能由α1,α2线性表示,则t= .
,且满足 A2-A-E=O,则R(A) = .
+1阶行列式满足aim=-ajm(i,j=1,2,…,n),
则D2n+1= .
, 且A的3个特征值为1,2,3. B--1= .
,α2,α3,α4为4维的列向量,且α2,α3,α4线性无关,而α1,α2,α3线性相关,令A=(α1,α2,α3,α4),则线性方程组Ax=0的基础解系解向量的个数为.
,且|A|≠0,则二次型f =x TA x化为f =yTA-1 y的线性变换是x=___ __ .
得分


二、单项选择题(共6小题,满分18分)

1、设A为n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,若AAT=E,则(A*)-1=( )
(A)(AT)*; (B)(A*)*; (C)(AT)-1; (D)(AT)T.
2、设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是( ).
(A)α1,α2,α3 - α1; (B)α1,α1+α2,α1+α3;
(C)α1+α2,α2+α3,α3+α1; (D)α1-α2,α2-α3,α3-α1.
3、设4阶方阵A=(a1,a2,a3,a4)可逆,令B=(a4,a3, a2,a1),其中a1,a2,a3,a4均为4维的列向量,又矩阵
则B-1=( ).
(A)A-1P1P2; (B)P1A-1P2; (C)P1P2A-1; (D)P2A-1P1.
(共6页,第1页)
4、设向量组α1,α2是方程组Ax=0的基础解系,β1,β2是方程组Ax=b的两个解向量,k1,k2是任意常数,则方程组Ax=b的通解为( ).
(A); (B)
(C)(D)
5、设矩阵相似A,则R(A-2E)+R(A-E)= ( ).
(A)2; (B)3; (C)4; (D)5.
6、设A=(aij)n×n为实对称矩阵,二次型
为正定的充要条件是( )
(A)|A|=0; (B)|A|≠0; (C)|A|>0; (D)|A|<0.
得分


三、解答题(共6小题,满分42分)
1、求的值
.
(共6页,第2页)
2、设A、B均为n阶方阵,B可逆,且满足A2+AB+B2=O,试证A和AB均可逆,并求出它们的逆.
3、设齐次线性方程组
的系数矩阵为A,若3阶非零方阵B满足AB=O,试求l及|B|的值.
(共6页,第3页)
4、判断向量组a1=(1,0,2,1),a2=(1,2,0,1),a3=(2,1,3,0),a4=(2,5,-1,4)的线性相关性,求它的秩和一个极大无关组,并把其余的向量用这个极大无关组线性表示.
5、试证g1=1,g2=1+x,g3= (1+x)2是线性空间R[x]3的一个基,并求由基1,x,x2到1,1+x,(1+x)2基的过渡矩阵.
6、.设A、P均为3阶矩阵,且若P=(α1,α2,α3),
Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ.

(共6页,第4页)
得分


四、(本题满分8分)已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),其中α1,α2,α3,α4均为4维的列向量,且α2,α3,α4线性无关,α1 = 2α2 - α3, 如果β= α1 + α2 + α4,求线性方程组Ax=β的通解.
得分


五、(本题满分9分)设矩阵相似于∧,求①a;②可逆矩阵P和对角矩阵∧,使P-1AP=∧.
(共6页,第5页)
得分


六、(本题满分5分)设a1,a2,…,at是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量b不是线性方程组Ax=0的解,试证:b,b+a1,b+a2,…,b+at 线性无关.

(共6页,第6页)
2008 – 2009学年第二学期《线性代数B》
试卷参考答案及评分标准
一、填空题(共6小题,满分18分)
;;;4.;;6..
二、单项选择题(共6小题,满分18分)
1.(A);2.(D);3.(C);4.(B);5.(C);6.(B) .
三、解答题(共6小题,满分42分)
1、解:
……………(7分)
2、设A、B均为n阶方阵,B可逆,且满足A2+AB+B2=O,试证A和AB均可逆,并求出它们的逆.
解:由B可逆,|B|≠0,再由A2+A