文档介绍：高二数学《椭圆曲线知识点与例题》
1 椭圆定义:
平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方:
(1)两个定点---两点间距离确定
(2)绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定
思考:在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的椭圆较扁(线段)
在同样的绳长下,两定点间距离较短,则所画出的椭圆较圆(圆)
由此,椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)
:
取过焦点的直线为轴,线段的垂直平分线为轴
设为椭圆上的任意一点,椭圆的焦距是().
则,又设M与距离之和等于()(常数)
,
,
化简,得,
由定义,
令代入,得,
两边同除得
此即为椭圆的标准方程
它所表示的椭圆的焦点在轴上,焦点是,中心在坐标原点的椭圆方程其中
公式推导:
平面内两个定点之间的距离为2,,推导出点M的轨迹方程.
选题意图:本题考查椭圆标准方程的推导方法.
解:建立直角坐标系,使轴经过点,并且点O与线段的中点重合.
设是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c(c=1),M与的距离的和等于常数6,则的坐标分别是(-1,0),(1,0).
∵
∴.
将这个方程移项后,两边平方,得
两边再平方,得:
整理得:
两边除以72得:.
说明:本题若不限制解题方法则可借助椭圆的定义直接写出方程.
例题已知B,C是两个定点,|BC|=6,且的周长等于16,求顶点A的轨迹方程
解:以BC所在直线为轴,BC中垂线为轴建立直角坐标系,设顶点,根据已知条件得|AB|+|AC|=10
再根据椭圆定义得
所以顶点A的轨迹方程为
(≠0)(特别强调检验)
因为A为△ABC的顶点,故点A不在轴上,所以方程中要注明≠0的条件
基本练****br/>,一直线过交椭圆于A、B两点,则的周长为( )
答案:B
∈(0,),方程表示焦点在轴上的椭圆,则∈
A.(0, B.(,) C.(0,) D.[,)
答案:B
,则的取值范围是______.
分析:将方程整理,得,据题意,解之得0<k<1.
,则的取值范围是______.
分析:据题意,解之得0<m<
△ABC中,BC=24,AC、AB的两条中线之和为39,求△ABC的重心轨迹方程.
分析:以BC所在直线为轴,BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系,M为重心,则|MB|+|MC|=×39=26.
根据椭圆定义可知,点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,故所求椭圆方程为(≠0)
例1 如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PPˊ,求线段PPˊ的中点M的轨迹(若M分 PPˊ之比为,求点M的轨迹)
解:(1)当M是线段PPˊ的中点时,设动点的坐标为,则的坐标为
因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上,
所以有,即
所以点的轨迹是椭圆,方程是
(2)当M分 PPˊ之比为时,设动点的坐标为