文档介绍：第二章机械优化设计的基本术语数学模型及基本方法
如何将实际的机械设计问题转化成数学模型,这是机械优化设计首先需要解决的关键问题。解决这个问题必须考虑:
哪些为变量参数?
各变量参数之间受到什么约束和限制?
优化问题追求的目标是什么?
这实际就是机械优化设计建立数学模型的三个基本要素——设计变量、约束条件、目标函数。
2-1设计变量
机械设计的一个方案,通常可以用一组参数来表示。在这些参数中,有的是根据工艺、安装和使用要求等预先确定,即在设计过程中是固定不变的量,称为设计常量;有的则需要在设计过程中进行选择和调整,可认为是变化的量,称为设计变量。
在最优化问题中,设计变量是指那些作变量处理的独立参数,其数目被称为该问题的维数。只含有一个设计变量的最优化问题,称为一维最优化问题;包含n个设计变量的最优化问题,称为n维最优化问题。
一组 n个设计变量x1,x2,…xn按一定次序排列构成一个数组,这个数组在最优化设计中被看成一个n维向量X沿n个坐标袖的分量,把它写成矩阵形式则为:
以n个设计变量为坐标轴组成的实空间称为n维设计空间。
具有n个分量的一个设计向量对应着n维设计空间的一个设计点,仍用符号X表示,代表具有n个设计变量的一个设计方案。
当n=2时,为二维设计向量 X=[x1,x2 ]T ,其设计空间为平面,见图2-1(a)。
当n=3时,则由三个设计变量x1,x2,x3组成一个三维设计空间,如图2-1(b)所示,其任—设计方案记为
X=[x1,x2 ,x3]T
当n>3时,其n个设计
变量x1,x2,x3,…xn组
成的空间就难以用图形表
示,一般称它为n维超越
设计空间。
工程设计常常有许许多多的设计方案,设计空间是所有设计方案(即设计点、设计向量)的集合,如n维设计空间,可用集合概念表示为
设计空间中的任一个设计方案视为从设计空间原点出发的一个设计向量X(K) 。
这样 X(1), X(2), X(3),…., X(K)表示有K个不同的设计方案。
如图所示,设X(1) 为第一个设计方案或原方案,经过一次设计修改ΔX(1) ,取得了第二个设计方案或新方案X(2)
按向量计算法则,有
或者表示成列阵的运算形式
2-2约束条件
最优化问题可分为两大类,即无约束最优化问题和有约束最优化问题。
若在优化过程中,对n个设计变量可在整个n维空间内任意取值,则称这类问题为无约束最优化问题;
如果在优化过程中,对设计变量的取值加以某些限制,只能在一定区域内取值,则称这类问题为有约束最优化问题。对设计变量的取值加以某些限制的条件,称为约束条件或设计约束。
根据约束的性质可以分为边界约束和性能约束两种。
边界约束是考虑设计变量的取值范围,如圆管平均直径D和人字架高H给定的上、下限均为边界约束;
性能约束则是根据设计性能或指标要求而定的约束条件,如对零件的工作应力、变形的限制或对运动学的参数,如位移、速度、加速度值限制等等,如强度条件、稳定性条件均属性能约束。
性能约束条件一般可以根据设计规范中的设计公式或者通过物理学和力学的基本分析导出的约束函数来表示。
约束条件从数学表达形式上又可分为不等式约束和等式约束两种,用设计变量的数学函数分别表示如下:
不等式约束
等式约束
式中,m、p——分别表示施加于该项设计的不等式约束条件数和等式约束条件数。
当不等式约束条件要求为g(X)≤0时,可以用-g(X)≥0的等价形式来代替。为了算法和程序统一,不等式约束条件均采用gu(X)≥0的形式。
设计空间理论上是所有设计点(方案)的集合,但实际的工程设计往往都是受若干个约束条件的限制,这就大大减少了可行的设计方案的数量。
等式约束h(X)=0成为n维设计空间中的约束曲面,要求设计点在约束面上才为可行。一个不等式约束条件g(X)≥0在n维设计空间内形成一个n维约束曲面g(X)=0,这个约束曲面把设计空间分隔成两个部分:
一部分是约束曲面g(X)=0本身及其g(X)>0的一侧,位于这一部分的设计点可行;
另—部分则是g(X)<0的一侧,位于其上的设计点不可行。所以,约束对设计点在设计空间的活动范围有所限制。
凡满足所有约束条件的设计点,它在设计空间中的可能活动范围,称作可行设计区域(可行域)。不能满足所有约束条件的设计空间便是不可行设计区域(不可行域)。位于这两个区域的设计点相应称为可行设计点(可行点)和不可行设计点(不可行点)。若某项设计有m个不等式约束条件,这m个约束曲面gu(X)=0 (u=1,2,…,m)在n维设计空间内构成一个gu(X)≥0 (u=l,2,…,m)的区域D,在D内任意点都满足上述不等式约束方程组的条件,因此为可行域。
图示为具有四个不等式约束的二维情
况,每一个不等式约束在二维设计空间
里表达为一条约