文档介绍：福建2005年全国高中数学联赛预赛试卷
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考试时间:2005年9月11日上午8:00~10:30
一、选择题:每题6分,满分36分
1、设函数的定义域为R,且对任意实数, ,则的最大值为( )A 0 B C D 1
2、实数列定义为则的值为( )
A 3 B -4 C 3或-4 D 8
3、正四面体ABCD的棱长为1,E是△ABC内一点,点E到边AB,BC,CA的距离之和为x,点E到平面DAB,DBC,DCA的距离之和为y,则等于( )
A 1 B C D
4、数列满足如下条件:对于比其余99个数的和小k,已知,m,n是互质的正整数,则m+n等于( )
A 50 B 100 C 165 D 173
5、若,则等于( )
A B C D 1
6、P为椭圆在第一象限上的动点,过点P引圆的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N,则的最小值为( )
A B C D
二、填空题:每小题9分,满分54分
7、实数满足则= .
8、设S是集合{1,2,…,15}的一个非空子集,若正整数n满足: ,则称n是子集S的模范数,这里|S|表示集合S中元素的个数。对集合{1,2,…,15}的所有非空子集S,模范数的个数之和为.
9、对于,当取得最大值时,x= .
10、函数满足:对任意实数x,y,都有,则.
11、正四面体ABCD的体积为1,O为为其中心. 正四面体与正四面体ABCD关于点O对称,则这两个正四面体的公共部分的体积为.
12、在双曲线xy=1上,横坐标为的点为,(1,1)的点为M, 是三角形的外心,则.
三、解答题:每小题20分,满分60分
13、如图,已知三角形ABC的内心为I,AC≠BC,内切圆与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F, ,连结CD与内切圆的另一个交点为M,:
(1) ∽;(2)
14、设是正整数,关于x的一元二次方程的两实数根的绝对值均小于,求的最小值.
15、设集合A和B都是由正整数组成的集合,|A|=10,|B|=9,并且集合A满足如下条件:若,
求证:|A+B|≥50. (|X|表示集合X的元素个数)
2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷参考答案
1、D 由,知,所以,
当时,.
2、A 设,则,
故,(-4舍去)所以.
3、D 点E到边AB,BC,CA的距离之和就是△ABC的高,即为,故,
又,即,
这里的h是正四面体的高, 点E到平面DAB,DBC,DCA的距离,于是,
,所以, ,于是
4、D 设,则,对k求和得
,所以,于是,故m+n=173
5、B 把两个式子分别平方相加得
把两个式子相乘得
所以,即
6、C 设,则直线AB的方程为,
故, ,
当,即点P为时等号成立。
7、14 把三个式子相加得: 即得
8、只要找出,对每个n有多少集合,使得n是模范数,再关于n求和即可.
若n是S的一个模范数,S含有k个元素,则又.
S的其他个元素有种取法,故n为模范数时,共有个.
当n=1,2,…,13,模范数的总数为,故

所以对集合{1,2,…,15}