文档介绍：2012年全国高中数学联赛试卷
本试题来源于教育联展网考试中心
第一试
(每小题5分,共30分)
对于每个自然数n,抛物线y(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴交于An,Bn两点,以|AnBn|表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( )
(A) (B) (C) (D)
已知如图的曲线是以原点为圆心,1为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是( )
(A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0
(C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0
设四面体四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,它们的最大值为S,记=/S,则一定满足( )
(A)2<≤4 (B)3<<4 (C)<≤ (D)<<
在△ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b¹1),且都是方程=logb(4x-4)的根,则△ABC( )
(A)是等腰三角形,但不是直角三角形(B)是直角三角形,但不是等腰三角形
(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形,也不是直角三角形
设复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z1|=4,4z12-2z1z2+z22=0,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
(A)8 (B)4 (C)6 (D)12
设f(x)是定义在实数集R上的函数,且满足下列关系f(10+x)f(10-x), f(20-x)-f(20+x),则f(x)是
(A)偶函数,又是周期函数(B)偶函数,但不是周期函数
(C)奇函数,又是周期函数(D)奇函数,但不是周期函数
(每小题5分共30分)
设x,y,z是实数,3x,4y,5z成等比数列,且成等差数列,则的值是______.
在区间[0,p]中,三角方程cos7xcos5x的解的个数是______.
从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线,则k的最大值是_____.
设z1,z2都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则arg()3的值是______.
设数列a1,a2,L,an,L满足a1a21,a32,且对任何自然数n, 都有anan+1an+2¹1,又anan+1an+2an+3an+an+1+an+2+an+3,则a1+a2+L+a100的值是__ __.
函数f(x)=-的最大值是_____.
三、(20分)求证:.
四、(20分)设l,m是两条异面直线,在l上有A,B,C三点,且AB=BC,过A,B,C分别作m的垂线AD,BE,CF,垂足依次是D,E,F,已知AD=,BE=CF=,求l与m的距离.
五、(20分)设n是自然数,fn(x)(x¹0,1),令y=x+.
:fn+1(x)=yfn(x)-fn-1(x),(n>1)
:
fn(x)=
1993年全国高中数学联合竞赛试卷
第一试
(每小题5分,共30分)
若M={(x,y)| |tgpy|+sin2px0},N={(x,y)| x2+y2≤2},则MN的元素个数是( )
(A)4 (B)5 (C)8 (D)9
已知f (x)=asinx+b+4(a,b为实数),且 f (lglog310)5,则f(lglg3)的值是( )
(A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随a,b取不同值而取不同值
集合A,B的并集AB={a1,a2,a3},当A¹B时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B)对的个数是( )
(A)8 (B)9 (C)26 (D)27
若直线x=被曲线C:(x-arcsina)(x-osa)+(y-arcsina)(y+osa)=0所截的弦长为d,当a变化时d的最小值是( )
(A) (B) (C) (D)p
在△ABC中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,若c-a等于AC边上的高h,则的值是( )
(A)1 (B) (C) (D)-1
设m,n为非零复数,i为虚数单位,zÎC,则方程| z+ni|+| z-mi|=n与| z+ni|-|z-mi|=-m在同一复平面内的图形(F1,F2为焦点)是( )
(每小题5分,共30分)
二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i为虚数单位,lÎR)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为________.
实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则_____ __.
若zÎC,arg(z2-4)=,arg(z2+4)=,则z的值是_ _______.
整数的末两位数是_______.
设任意实数x0