文档介绍：1.(2012•北京文科)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是( )
+a3≥2a2 B.
=a3,则a1=a2 >a1,则a4>a2
分析:a1+a3=,当且仅当a2,q同为正时,a1+a3≥2a2成立;,所以;若a1=a3,则a1=a1q2,从而可知a1=a2或a1=﹣a2;若a3>a1,则a1q2>a1,而a4﹣a2=a1q(q2﹣1),其正负由q的符号确定,故可得结论
解:设等比数列的公比为q,则a1+a3=,当且仅当a2,q同为正时,a1+a3≥2a2成立,故A不正确;
,∴,故B正确;
若a1=a3,则a1=a1q2,∴q2=1,∴q=±1,∴a1=a2或a1=﹣a2,故C不正确;
若a3>a1,则a1q2>a1,∴a4﹣a2=a1q(q2﹣1),其正负由q的符号确定,故D不正确
故选B.
2.(2012•北京文科)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,
则a2= _________ ,Sn= _________ .
解:根据{an}为等差数列,S2=a1+a2=a3=+a2;
∴d=a3﹣a2=
∴a2=+=1
Sn==
故答案为:1,
3.(2012•福建理科)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( )
解:设数列{an}的公差为d,则由a1+a5=10,a4=7,可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,解得 d=2,
故选B
4.(2012•福建理科)数列{an}的通项公式an=ncos +1,前n项和为Sn,则S2012= ______.
解:因为cos=0,﹣1,0,1,0,﹣1,0,1…;
∴ncos=0,﹣2,0,4,0,﹣6,0,8…;
∴ncos的每四项和为2;
∴数列{an}的每四项和为:2+4=6.
而2012÷4=503;
∴S2012=503×6=3018.
故答案为 3018.
5.(2012•广东理科)已知递增的等差数列{an}满足a1=1,,则an= _________ .
解:由于等差数列{an}满足a1=1,,令公差为d
所以1+2d=(1+d)2﹣4,解得d=±2
又递增的等差数列{an},可得d=2
所以an=1+2(n﹣1)=2n﹣1
故答案为2n﹣1
6.(2012•广东理科)设数列{an}的前n项和为Sn,满足,且a1,a2+5,a3成等差数列.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有.
解:(1)在2Sn=an+1﹣2n+1+1中,
令n=1得:2S1=a2﹣22+1,
令n=2得:2S2=a3﹣23+1,
解得:a2=2a1+3,a3=6a1+13
又2(a2+5)=a1+a3
解得a1=1
(2)由2Sn=an+1﹣2n+1+1,
得an+2=3an+1+2n+1,
又a1=1,a2=5也满足a2=3a1+21,
所以an+1=3an+2n对n∈N*成立
∴an+1+2n+1=3(an+2n),又a1=1,a1+21=3,
∴an+2n=3n,
∴an=3n﹣2n;
(3)(法一)
∵an=3n﹣2n=(3﹣2)