文档介绍：泰勒公式与函数逼近
本实验的目的是: 利用Mathematica计算函数的各阶泰勒多项式,并通过绘制曲线图形,来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。
一个函数若在点的邻域内足够光滑,则在该邻域内有泰勒公式
,
当很小时,有,
其中,称为在点处的n阶泰勒多项式;为余项。
例1 (泰勒公式的误差)利用泰勒多项式近似计算。若,要求误差。
解:我们根据拉格朗日余项可得,欲使,只要取即可。下面的Mathematica语句利用函数的5阶泰勒多项式来近似计算的值,并判断误差:
输出结果为:
输出结果每一行的最后一项表示误差,从结果中可以看出,当,其误差。
例2 (观察阶数n对误差的影响)利用函数的n阶多项式计算e的值,并求误差。(n=5,6,7,8,9,10)
解:为此,我们输入Mathematica语言如下:
输出结果为:
从结果中可知,阶数越高,误差越小。
例3(根据图形观察泰勒展开的误差)观察的各阶泰勒展开的图形。
解:(1)固定,观察阶数的影响。
因为在处的偶数阶导数为零,所以首先我们在同一坐标系内显示函数及它的阶泰勒多项式的图形。故输入命令如下:
上述语句中的函数“PrependTo[t,Sin[x]]”是表示把函数添加到表t中。运行后得到图3-1。
图3-1
为了使图形比较更加生动,下面我们作出和它的某一阶泰勒多项式的同一坐标系下的比较图,并且在图中红色曲线表示函数的图形,蓝色曲线表示泰勒多项式的图形。命令如下:
运行后得到了六幅图(图3-2),从图表中可以观察到泰勒多项式与函数图形的重合与分离情况,显然在范围内,第五幅图中两个函数的图形已经基本上吻合了,也就是说,的9次多项式与函数几乎无差别。

图3-2
(2)扩大显示区间范围,以观察在偏离展开点时泰勒多项式对函数的逼近情况。
显然,我们只要把上一个程序中的绘图命令中的范围由分别改到,并相应增加阶数。故输入如下命令:
运行上面程序,绘出了从7阶直至17阶的泰勒多项式与的比较图(图3-3),观察图表可得,在区间范围内,的17次多项式与函数吻合得很好了。

图3-3
(3)固定,观察对函数逼近的影响。
在下面的语句中,为了方便调用的泰勒多项式,首先定义了的泰勒展开函数tt,然后用不同的颜色在同一坐标系中画出了
及的分别在处的6阶泰勒多项式的图形:
输出的结果如图3-4所示。
图3-4
从本实验我们可以得到一些结论,函数的泰勒多项式对于函数的近似程度随着阶数的提高而提高,但是对于任一确定的次数的多项式,它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度。
实验****题3
对重复上面的实验。
作出函数的函数图形和泰勒展开式(选取不同的和值)图形,并将图形进行比较。