文档介绍：第五节奈奎斯特稳定判据
主要内容
幅角定理
奈奎斯特稳定判据
在波德图上判别系统稳定性
奈奎斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性,而且还能够指出闭环系统的相对稳定性,并可进一步提出改善闭环系统动态响应的方法,对于不稳定的系统,奈氏判据还能像劳斯判据一样,确切的回答出系统有多少个不稳定的根(闭环极点)。因此,奈氏稳定性判据在经典控制理论中占有十分重要的地位,在控制工程中得到了广泛的应用。奈氏判据的理论基础是复变函数理论中的幅角原理。
由于闭环系统的稳定性决定于闭环特征根的性质,因此运用开环特性研究闭环的稳定性,首先应该明确开环特性和闭环特征式的关系,并进而寻找和闭环特征根性质之间的规律性。
一、系统开环频率特性和闭环特征式的关系
假定一个典型的闭环控制系统,其开环传递函数为:
取辅助方程F(s)令: F(s)=1+G(s)H(s)
式中,s1, s2 , …,sn为N(s)+M(s)=0的根,即闭环特征根;
上式即为开环频率特性和闭环特征式的关系。
以s代 jω,得:
p1,p2…,pn为N(s)=0的根,即开环特征根。
1、幅角定理:
二、奈奎斯特稳定判据
在辅助函数中,以某一根si为例,在复平面上随频率ω的变化(jω在虚轴上移动),向量(jω- si)的辐角也在变化。
如果si位于虚轴左侧,那么当ω由时,向量(jω- si)逆时针转180°,则有
如果si位于虚轴右侧,则有
因为复数相乘,幅角相加。如果系统特征方程n个根全部在虚轴左侧(系统是稳定的),则有
为与频率特性对应,可写成
如果有p个根在虚轴右侧,其余(n-p)个根在虚轴左侧(系统是不稳定的),则有
上式说明,如果一个向量在ω由时,幅角变化等于,其中n是特征式阶数,那么系统是稳定的。否则,系统是不稳定的。
2、奈奎斯特稳定判据:
根据辅助函数的幅角变化关系,可写出
如果系统闭环后是稳定的,闭环特征方程的n个根应均在虚轴左侧,则有
设开环特征方程的n个根,有p个在虚轴右侧,则有
上式说明:若开环系统不稳定,有p个虚轴右侧根,欲使构成的闭环系统稳定,则充要条件是:
当ω由0∞时,向量1+G(jω)H(jω)的幅角变化为pπ,即向量1+G(jω)H(jω)绕坐标原点的转角是pπ。
而1+G(jω)H(jω)绕原点的转角等于G(jω)H(jω)绕点(-1,j0)的转角,如图:
辅助函数F(s)与闭环系统的开环传递函数G(s)H(s)之间的关系为
从上式可以看出,将[F(s)]平面的虚轴向右平移,令其通过点(1,j0),将得到由新位置上的虚轴与原实轴构成的新平面—[G(s)H(s)]平面。新平面的(-1,j0)点便是[F(s)]平面的原点。