文档介绍：第二章:控制系统的数学模型
§ 引言
·系统数学模型-描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。
·建模方法
·本章所讲的模型形式
§
线性元部件、系统微分方程的建立
(1)L-R-C网络

── 2阶线性定常微分方程
(2)弹簧—阻尼器机械位移系统
分析A、B点受力情况

由
解出
代入B等式:

得: ──一阶线性定常微分方程
(3)电枢控制式直流电动机
电枢回路:┈克希霍夫
电枢及电势:┈楞次
电磁力矩:┈安培
力矩方程: ┈牛顿
变量关系:
消去中间变量有:

(4)X-Y记录仪(不加内电路)

消去中间变量得:
─二阶线性定常微分方程
即:
线性系统特性──满足齐次性、可加性
线性系统便于分析研究。
在实际工程问题中,应尽量将问题化到线性系统范围内研究。
非线性元部件微分方程的线性化。
例:某元件输入输出关系如下,导出在工作点处的线性化增量方程
解:在处线性化展开,只取线性项:

令

得
用拉氏变换解微分方程
(初条件为0)

复习拉普拉斯变换的有关内容
1 复数有关概念
(1)复数、复函数
复数
复函数
例:
(2)复数模、相角

(3)复数的共轭

(4)解析:若F(s)在s点的各阶导数都存在,称F(s)在s点解析。
2 拉氏变换定义

3 几种常见函数的拉氏变换
单位阶跃:
指数函数:
正弦函数:
4 拉氏变换的几个重要定理
(1)线性性质:
(2)微分定理:
零初始条件下有:
例1:求

例2:求
解:
(3)积分定理: (证略)
零初始条件下有:
进一步有:
例3:求L[t]=?
解:

例4:求
解:

(4)位移定理
实位移定理:
例5:
解:

虚位移定理: (证略)
例6:求
例7:
例8:
(5)终值定理(极限确实存在时)

证明:由微分定理
取极限:
∴有:证毕
例9: 求
例10:
拉氏变换附加作业
已知f(t),求F(s)=?
(s),求f(t)=?

(1) 反变换公式:
(2) 查表法——分解部分分式(留数法,待定系数法,试凑法)

微分方程一般形式:

的一般表达式为:
(I)
其中分母多项式可以分解因式为:
(II)
的根(特征根),分两种情形讨论:
I:无重根时:(依代数定理可以把表示为:)

即:若可以定出来,则可得解:而计算公式:
(Ⅲ)
(Ⅲ′)
(说明(Ⅲ)的原理,推导(Ⅲ′) )
● 例2: 求
解:
● 例3: ,求
解:不是真分式,必须先分解:(可以用长除法)

● 例4:
解法一: