文档介绍：中考数学复****一)切线的判定与性质
知识考点:
1、掌握切线的判定及其性质的综合运用,在涉及切线问题时,常连结过切点的半径,切线的判定常用以下两种方法:一是连半径证垂直,二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用,掌握三角形和多边形的内切圆,三角形的内心。
经典例题:
【例1】如图,AC为⊙O的直径,B是⊙O外一点,AB交⊙O于E点,过E点作⊙O的切线,交BC于D点,DE=DC,作EF⊥AC于F点,交AD于M点。
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)EM=FM。
分析:(1)由于AC为直径,可考虑连结EC,构造直角三角形来解题,要证BC是⊙O的切线,证到∠1+∠3=900即可;(2)可证到EF∥BC,考虑用比例线段证线段相等。
证明:(1)连结EC,∵DE=CD,∴∠1=∠2
∵DE切⊙O于E,∴∠2=∠BAC
∵AC为直径,∴∠BAC+∠3=900
∴∠1+∠3=900,故BC是⊙O的切线。
(2)∵∠1+∠3=900,∴BC⊥AC
又∵EF⊥AC,∴EF∥BC
∴
∵BD=CD,∴EM=FM
【例2】如图,△ABC中,AB=AC,O是BC的中点,以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证:AC是⊙O的切线。
分析:由于⊙O与AC有无公共点未知,因此我们从圆心O向AC作垂线段OE,证OE就是⊙O的半径即可。
证明:连结OD、OA,作OE⊥AC于E
∵AB=AC,OB=OC,∴AO是∠BAC的平分线
∵AB是⊙O的切线,∴OD⊥AB
又∵OE⊥AC,∴OE=OD
∴AC是⊙O的切线。
【例3】如图,已知AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,OA=。
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求的值;
(3)若AD+OC=,求CD的长。
分析:(1)要证CD是⊙O的切线,由于D在⊙O上,所以只须连结OD,证OD⊥DC即可;(2)求的值,一般是利用相似把转化为其它线段长的乘积,若其它两条线段长的乘积能求出来,则可完成;(3)由,AD+OC=可求出AD、OC,根据勾股定理即可求出CD。
证明:(1)连结OD,证∠ODC=900即可;
(2)连结BD
∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=900
∵∠OBC=900,∴∠ADB=∠OBC
又∠A=∠3,∴△ADB∽△OBC
∴
∴
(3)由(2)知,又知AD+OC=
∴AD、OC是关于的方程的两根
解此方程得,
∵OC>,∴OC=
∴CD=
探索与创新:
【问题一】如图,以正方形ABCD的边AB为直径,在正方形内部作半圆,圆心为O,CG切半圆于E,交AD于F,交BA的延长线于G,GA=8。
(1)求∠G的余弦值;
(2)求AE的长。
略解:(1)设正方形ABCD的边长为,FA=FE=6,在Rt△FCD中,
,,解得。
∴
∵AB∥CD,∴∠G=∠FCD,∴
(2)连结BE,∵CG切半圆于E,∴∠AEG=∠GBE
∵∠G为公共角,∴△AEG∽△EBG
∴
在Rt△AEB中,可求得
【问题二】如图,已知△ABC中,AC=BC,∠CAB=(定值),⊙O的圆心O在AB上,并分别与AC、BC相切于点P、Q。
(1)求∠POQ;
(2)设D是CA延长线上的一个动点,DE与⊙O相切于点M,点E在CB的延长线上,试判断∠DOE的大小是否保持不变,并说明理由。
分析:(1)连结OC,利用直角三角形的性质易求∠POQ;(2)试将∠DOE用含的式子表示出来,由于为定值,则∠DOE为定值。
解:(1)连结OC
∵BC切⊙O于P、Q,∴∠1=∠2,OP⊥CA,OQ⊥CB
∵CA=CB,∴CO⊥AB
∴∠COP=∠CAB,∠COQ=∠CBA
∵∠CAB=,∴∠POQ=∠COP+∠COQ=
(2)由CD、DE、CE都与⊙O相切得:
∠ODE=∠CDE,∠OED=∠CED
∴∠DOE=1800-(∠ODE+∠OED)
=1800-(∠CDE+∠CED)
=1800-(1800-∠ACB)
=1800-[1800-(1800-)]
=
∴∠DOE为定值。
跟踪训练:
一、选择题:
1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是( )
A、经过半径外端点的直线是圆的切线;
B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线;
C、垂直于半径的直线是圆的切线;
D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、在Rt△ABC中,∠A=900,点O在BC上,以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、F,若AB=,AC=,则⊙O的半径为( )
A、 B、 C、 D、
3、正方形ABCD中,AE切