文档介绍：圆的参数方程
知识回顾
若以(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程为:
(x-a)2+(y-b)2=r2
标准方程的优点在于:
它明确指出圆的
圆心和半径
D2+E2-4F>0
若
时,
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
表示一个圆,称其为
圆的一般方程
思考:圆是否还可用其他形式的方程来表示?
r
x
y
o
p0
p
点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P,设
问:你观察到了什么?
设点P的坐标是(x,y)
①
我们把方程组①叫做圆心为原点,半径为r的圆的参数方程, 是参数
圆心为O1(a,b)半径为r的圆的参数方程呢?
P1(x1,y1)
P(x,y)
o1
o
x
y
r
推导过程如下:
圆心为O1(a,b),半径为r的圆可以看成由圆心为原点O半径为r的圆平移而得到的,平移向量
V =OO1=(a,b)
设P1(x1,y1)为圆O上任一点,
则有:
设P(x,y)为圆O1上与P1对应的点,则由P1P= V 得(x-x1,y-y1)=(a,b)
即
为圆心为(a,b) 半径为r的圆的参数方程
所以
一般的,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,
即并且对于t 的每一个允许值,
由方程组③所确定的点都在这条直线上,那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程,联系x,y 之间关系的变数叫做惨变数,简称参数。参数方程中的参数可以是有物理,几何意义的变数,也可以没有明显意义的变数。
相对于参数方程来说,圆的标准方程和一般方程叫做圆的普通方程。
③
例1、圆的参数方程为
若圆上一点P对应参数θ= ,则点P的坐
标是________,若圆上一点Q的坐标为则参数θ=______,若,则此参数方程表示的曲线是___________
半圆
例2
(1)圆的参数方程
化为普通方程为________________
(2)圆x2+y2-2x+4y+2=0化为参数
方程为_______________
(x-1)2+(y+3)2=4
例3 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?
P
x
y
O
A
M
解: 设点M的坐标是(x,y).因为圆x2+y2=16的参数方程为
所以可设点P的坐标为(4cos , 4sin ).由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为
所以,线段PA的中点M的轨迹是以点(6,0)为圆心,2为半径的圆.
例4、若实数x、y满足x2+y2-2x+4y+2=0,求x- y的最大值和最小值。
课堂练****br/>课本P81练****1,2,3.
参考答案
1.
2.
(1)
(2)
3.