文档介绍：§4 条件极值
例如要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试
问长、宽、高各等于多少时, 其表面积最小?
设水箱的长、宽、高分别为 x, y, z, 则则表面积为
以往所讨论的极值问题,其极值点的搜索范围是目标
函数的定义域,但是另外还有很多极值问题,其极值
点的搜索范围还受到各自不同条件的限制.
上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求
而且还须满足条件
约束条件的极值问题不妨称为无条件极值问题.(对自
变量除了限制在定义域内外,并无其他条件.)
条件极值问题的一般形式是在条件组
限制下,求目标函数
的极值.
关于条件极值的求法,有以下两种方法.
对一些简单的条件极值问题,往往可以利用附加条件,
消去函数中某些自变量,
例子,由条件(1)解出
并代入函数
中,得到
然后按
求出稳定点
并有
最后判定在此稳定点上取得最小面积
往往比较复杂甚至相当困难下面介绍的拉格朗日乘数法
是一种直接寻求条件极值的方法.
但是在很多情况下,将条件极值转化为无条件极值.
我们从设
均为二元函数较简单的情况入手,
欲求函数
在条件
的限制下的极值问题.
如果
是函数
在条件
下的极值点,那么
首先要满足条件
即
假定在
的某邻域内
与
均有连续的一阶偏导数,且
由隐函数存在定理1可知,方程
在点
的某邻域内能确定一个单值连续且具有连续导数的函数
将它代入函数
中,得
由于
是函数
的极值点,则
一元可导函数取得极值的必要条件,有
必定也是一元函数
,根据
而另一方面对
用隐函数求导公式有
将(7)代入(6),得
于是,
和(8)式就是函数
在条件
下在
取得极值的必要条件.
设
,则有
于是上述必要条件可改写为
如果引入辅助变量
和辅助函数
则(9)式就是
这样就把条件极值问题(4)(5)转化为讨论函数
(10),
(10)中的函数L称为拉格朗日函数,辅助变量
称为
拉格朗日乘数.
综上所述,可得到求条件极值的拉格朗日乘数法.
拉格朗日乘数法
求函数
在条件
下的可能极值点,
按以下方法进行: