文档介绍：实现预定轨迹的平面四连杆机构的
数学建模及其优化设计

设计一平面四连杆机构,如图1所示。要求曲柄在运动过程中实现运动轨迹,,因传递力的需要,最小转动角大于50度。
图1

根据设计要求,由机械原理知识可知,设计变量有L1、L2、L3、L4、。将曲柄的长度取为一个单位长度1,其余三杆长可表示为L1的倍数。由图1所示的几何关系可知
为杆长的函数。另外,根据机构在机器中的许可空间,可以适当预选机架L4的长度,取L4=5,经以上分析,只剩下L2、L3两个独立变量,所以,该优化问题的设计变量为
因此。本优化设计为一个二维优化问题。

按轨迹的优化设计,可以将连杆上M点与预期轨迹点坐标偏差最小为寻优目标,其偏差为和,如图2。为此,把摇杆运动区间2到5分成S等分,M点坐标有相应分点与之对应。将各分点标号记作,根据均方根差可建立其目标函数,即

,S为运动区间的分段数
于是由以上表达式便构成了一个目标函数的数学表达式,对应于每一个机构设计方案(即给定),即可计算出均方根差。
图 2

根据设计条件,该机构的约束条件有两个方面:一是传递运动过程中的最小传动角应大于50度;二是保证四杆机构满足曲柄存在的条件。以此为基础建立优化线束条件。
①保证传动角
图 3
按传动条件,根据图3可能发生传动角最小值的位置图,由余弦定理

所以
(a)

所以
(b)
式(a)、(b)为两个约束条件,将,,,代入式(a)、(b),得
②曲柄存在的条件
按曲柄存在条件,由机械原理知识可知
,,
,
把它们写成不等式约束条件(将,,,代入上式),得
经过分析,上述七个约束条件式中,和为紧约束条件,为松约束条件,即满足和的,必满足不等式,所以本优化问题实际起作用的只有和两个不等式约束条件。

综上所述,可得本优化问题的数学模型为

即本优化问题具有两个不等式约束的二维约束优化问题。

选取Matlab 2011a版优化工具箱进行本优化问题优化。取初始点,优化结果为
,
即L2=(长度单位),L3=(长度单位);
结论