文档介绍：第三章第三章
线线性系性系统统的时间的时间域域理论理论
第3章线性系统的能控性与能观测性
能控性和能观测性是系统的两个基本结构特征。
60年代初,卡尔曼()提出和研究了能控性和
能观测性这两个重要概念。
能控性和能观测性的定义
u对能控性和能观测性的直观讨论
001
第三章第三章
从物理的直观性来讨论能控性和能观测性。
状态空间描述:
输入和输出构成系统的外部变量,状态为系统的内部变量。
能控性:状态是否可由输入影响。
每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的
始点达到原点,则是能控,反之不完全能控的。
能观测性:状态是否可由输出反映。
所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映,则是
能观测的,反之不完全能观测的。
002
第三章第三章
例:给定系统的状态空间描述为:
éùx&1é401ùéùx1éù
êú=+êúêúêúu
ëûx&2ë0­52ûëûx2ëû
éùx1
y =­[]06êú x& =+4xu
ëûx2 11
将其表为标量方程组的形式,有 x&22=­+52xu
yx=­6 2
表明:x1 和 x2 可通过选择输入 u 而由始点达到原点,完
全能控。
输出 y 只能反映, 和无直接、间接关系,不完
输出只能反映 x2 ,x1 和 y 无直接、间接关系,不完
全能观测的。 003
第三章第三章
例:如图所示电路中,两个
+
C x
状态变量为两电容的端电压­1 R
x 和 x ,输入能够使 x 或+
1 2 1 R C x
­2
者 x2 转移到任意目标值,但
不能将 x1和 x2分别转移不同的任意目标值。
如 x1(t0)==xt20()0,输入 u 取何种形式,
不可能做到使,
t³=t0,x12(t)xt()不可能做到使,
x12(t)¹ xt() ,不完全能控。
003
第三章第三章
R
例:如图所示电路中,若 1 L i y +
ut()0= ,当 x R
+ 1 1
ut()0= R
x(t)= xt() x 2
1020 ­ 2 L
且为任意值时,必定有
i = 0 ,即 t³=t0 ,yt()0,
状态不能由输出反映,不完全能观测。
005
第三章第三章
u能控性定义
线性时变系统的状态方程
S:x& =A(t)x+ÎB(t),utJ
其中:x 为 n 维状态向量,u 为 p 维输入向量, J 为
时间定义区间,A 和 B分别为 nn´ 和 np´ 的元为 t
的连续函数的矩阵。
006
第三章第三章
定义:线性时变系统,如果对取定初始时刻,
定义 1:线性时变系统 S ,如果对取定初始时刻,tJ0 Î
的一个非零初始状态,存在一个时刻,
的一个非零初始状态 x0 ,存在一个时刻 t1Î>J, tt10,
和一个无约束的容许控制 u(t),,tÎ [tt01] ,使状态由 x 0
转移到 t1 时 xt(1 )0= ,则称此 x0 是在 t 0 时刻为能控的。
定义 2:线性时变系统 S ,如果状态空间中的所有非零状态
都是在 t00()tJÎ 时刻为能控的,则称系统 S 在时刻 t 0 是
完全能控的。
007
第三章第三章
定义 3:线性时变系统 S ,取定初始时刻 tJ0 Î ,如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 t 0 是不能控的,则
称系统 S 在时刻 t 0 是不完全能控的。
解释:
①使 t 0时刻的非零状态 x 0 在 J 上的一段有限时间转移到坐标
原点,对其轨迹不加以限制和规定。
②无约束表示对输入幅值不加限制。容许控制表示输入的所有
分量在 J 上平方可积。
008
第三章第三章
③取定时刻 t 0 ,对时变系统是完全必要的,定常系统与 t0
的选取无关。
④非零状态® 零状态,能控。
零状态® 非零状态,能达。
线性定常系统能控等价能达。
时变系统不能等价。
⑤不完全能控系统,某些参数的很小的变动,可使其变为完
全能控。
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第三章第三章
u能观测性定义
能观测性表征状态可由输出的完全反映性,应同时考虑
系统的状态方程和输出方程。
S:x& =A(t)x+ÎB(t),utJ
y=C(t)x+=D(t)u,x()tx00
其中: A(t),B(t),Ct()和 Dt()分别为 nn´ ,
n´´p, qn和 qp´ 的满足状态方程解的存在唯一
性条件的时变矩阵。
010