文档介绍：第六章三重积分、曲线积分与曲面积分
教学目的:
1、理解三重积分的概念。
2、掌握计算三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算方法。
3、理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
4、掌握计算两类曲线积分的方法。
5、熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求全微分的原函数。
6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,了解高斯公式、斯托克斯公式,会用高斯公式计算曲面积分。
7、知道散度与旋度的概念,并会计算。
8、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。
教学重点:
1、三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算。
2、三重积分的几何应用及物理应用。
3、两类曲线积分的计算方法;
4、格林公式及其应用;
5、两类曲面积分的计算方法;
6、高斯公式、斯托克斯公式;
7、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。
教学难点:
1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系;
2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;
3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分;
4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分;
5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。
三重积分引入
三重积分定义
一. 非均匀分布立体的质量问题
设有空间立体,当的质量是均匀分布时,,则不能用上式算质量.
设空间立体,其质量非均匀分布,体密度连续,求的质量.
(i)将分成个小立体,,从而当很小时,在上的变化不大,可近似看作不变;
(ii)即,以作为的体密度,从而的质量;
(iii)因此,的质量;
(iv) 若记为的最大直径,则.
二. 三重积分定义
抛开上述问题的具体意义,对照二重积分的被积函数是一个二元函数,它的积分域是—平面区域. 如果考虑三元函数在一空间区域上的积分,就可得到下述三重积分的概念.
,,,…,,,,点怎样选取,当而且最大的子域直径时,这个和数的极限都存在,,即
.
如果在区域上连续,那么此三重积分一定存在.
   对于三重积分没有直观的几何意义,但它却有着各种不同的物理意义.
三重积分的计算
一. 直角坐标系中三重积分的计算方法
在这里我们直接给出三重积分的计算公式,具体它是怎样得来的,请大家参照有关书籍.
直角坐标系中三重积分的计算公式为:
,
,根据我们前面所学的知识即可求出.
按照闭区域投影的面不同,相应地可把三重积分转化为其他不同顺序的积分.
例1 计算三重积分,其中是由平面及所围成的闭区域.
解把化为先对,,求出投影域,它就是平面与平面的交线和轴及轴所围成的三角区域.
为了确定出对的积分限,在上固定点,通过此点作一条平行于的直线,它与上下边界的交点的竖坐标为:z=0与z=1-x-y,这就是对z积分的下限与上限,于是由积分公式得:
,
其中为平面区域:,如下图红色阴影部分所示:
再把域上的二重积分化成先对后对的二次积分,得:
二. 柱面坐标系中三重积分的计算方法
我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法.  
平面上点可以用极坐标来确定,,空间的点与数组之间的对应关系是一一对应关系,:
               
构成柱面坐标系的三族坐标面分别为:
常数:以轴为对称轴的同轴圆柱面族;
常数:通过轴的半平面族;
常数:与轴垂直的平面族.
,所以称为柱面坐标.
柱面坐标系下三重积分的计算公式为:
.
例2 利用柱面坐标计算三重积分,其中是由曲面与平面所围成的闭区域.
解把闭区域投影到面上,得半径为的圆形闭区域
在内任取一点,过此点作平行于轴的直线,此直线通过曲面穿入内,

曲面积分
常见曲面及方程
在解析几何中,曲面或曲线都看作是点的几何轨迹. 如果曲面与三元方程
(1)
之间有下述关系:
(1) 曲面上