文档介绍：第三章静态场边值型问题的解法
{ 第一节拉普拉斯方程
{ 第二节唯一性定理
{ 第三节一维问题的解
{ 第四节直角坐标系二维场的解
{ 第五节圆柱坐标系二维场的解
{ 第六节球坐标系二维场的解
{ 第七节镜像法(平面、介质、球面镜像)
直角坐标中一维拉普拉斯方程的解
{ 如图,两个平行于 xoy 面的极大的金属平板,两板间的
距离为 d ,电位差为V0,求两板间的电位及电场分布
直角坐标中一维拉普拉斯方程的解
{ 分析:
z 这是一个平面对称的边值问题,因此选择直角
坐标系。
z 由于对称性,可知位函数φ与 x 、y 坐标无
关,仅随 z 而变化,即φ仅为一维空间的函
数,则拉普拉斯方程变为
d 2ϕ
∇2ϕ= = 0
dz 2
直角坐标中一维拉普拉斯方程的解
{ 将拉普拉斯方程积分两次,得电位φ为
φ= C1z+C2
{ 式中C1、C2为待定的积分常数。
{ 得到了位函数的通解
直角坐标中一维拉普拉斯方程的解
{ 现在来求定(特)解
{ 利用边界条件确定常数C1、C2
{ 看图有:z=0时φ=0
z=d时φ=V0
{ 把这两个边界条件的表示式代回式
φ= C1z+C2
直角坐标中一维拉普拉斯方程的解
{ 得到 C2 =0 C1 =V0 /d
{ 所以 V
ϕ= 0 z
d
{ 所以电场强度为:
↔↔↔
∂ϕV0 
E = −∇ϕ= −ez = −ez 
∂z  d 
圆柱坐标中一维拉普拉斯方程的解
{ 例:同轴圆柱的内外导体半径分别为a和b,
沿Z轴无限长,外导体接地,内导体电位
为V0 ,求同轴线间的电位、电场分布
a
b
圆柱坐标中一维拉普拉斯方程的解
{ 电位轴对称、z方向不变情况,圆柱坐标
系中拉普拉斯方程变为
1 d  dϕ
∇2ϕ= r = 0
r dr  dr 
{ 积分两次得到通解
ϕ= C1 lnr + C2
圆柱坐标中一维拉普拉斯方程的解
{ 根据边界条件
r=a时φ= V0
r=b时φ= 0
{ 得到 V V lnb
C = 0 C = − 0
1  a  2  a 
ln ln
 b  b 
圆柱坐标中一维拉普拉斯方程的解
{ 把C1、C2带入通解,
{ 得到特解
V r
ϕ= 0 ln
 a  b
ln
 b 