文档介绍：第三章静态场边值型问题的解法
{ 第一节拉普拉斯方程
{ 第二节唯一性定理
{ 第三节一维问题的解
{ 第四节直角坐标系二维场的解
{ 第五节圆柱坐标系二维场的解
{ 第六节球坐标系二维场的解
{ 第七节镜像法(平面、介质、球面镜像)
球坐标系二维场的解
{ 球坐标系中的拉普拉斯方程
1 ∂∂ϕ 1 ∂∂ϕ 1 ∂2ϕ
∇2ϕ= r 2 + sinθ+ = 0
r 2 ∂r ∂r r 2 sinθ∂θ∂θ r 2 sin2 θ∂φ 2
{ 我们只讨论场问题与φ无关的情形:
1 ∂∂ϕ 1 ∂∂ϕ
∇2ϕ= r 2 + sinθ= 0
r 2 ∂r ∂r r 2 sinθ∂θ∂θ
{ 变量分离:令
ϕ= f (r)g(θ)
球坐标系二维场的解
{ 拉普拉斯方程可变为:
1 ∂∂f (r) 1 ∂∂g(θ)
r 2 + sinθ= 0
f ()r ∂r ∂r g()θ sinθ∂θ∂θ
{ 上式中f(r)和g(θ)已分开在两项中,令分别
等于常数-λ和λ,得
d df ()r 1 d dg(θ)
r 2 = λf ()r 和sinθ= −λg()θ
dr dr sinθ dθ dθ
常微分方程的解
1 d dg()θ
{ (1) sinθ= −λg()θ
sinθ dθ dθ
{ 在该式中引入一个新的自变量x=cos θ,于
是该式可变为
d dg(x)
()1− x2 + λg()x = 0
dx dx
常微分方程的解
{ 若我们研究的空间中包含θ从0到π,即x从
1到(-