文档介绍：一招通解“二面角”和“点到平面的距离”
求“二面角”与“点到平面的距离”问题一直是高考命题的热点,而这两方面的题目又是很多学生感到头痛的。事实上,这两类问题有着较强的相关性,下面给出这两类问题的一个“统一”求解公式,让你一招通解两类问题,
定理:如下图,若锐二面角的大小为,点A为平面内一点,若点A到二面角棱CD的距离为,点A到平面的距离AH=d,则有。
说明:中含有3个参数,已知其中任意2个可求第3个值。其中是指二面角的大小,d表示点A到平面的距离,m表示点A到二面角棱CD的距离。值得指出的是:可用来求解点到平面的距离,也可用于求解相关的二面角大小问题。其优点在于应用它并不强求作出经过点A的二面角的平面角∠ABH,而只需已知点A到二面角棱的距离,与二面角大小,即可求解点A到平面的距离,或已知两种“距离”即可求二面角的大小。这样便省去了许多作图过程与几何逻辑论证,简缩了解题过程。还要注意,当已知点A到平面的距离d与点A到二面角棱CD的距离m求解二面角的大小时,若所求二面角为锐二面角,则有;若所求二面角为钝二面角,则
下面举例说明该公式在解题中的应用。
例1. (2004年全国卷I理科20题)如下图,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120
°。
(1)求点P到平面ABCD的距离;
(2)求面APB与面CPB所成二面角的大小。
分析:如上图,作PO⊥平面ABCD,垂足为O,即PO为点P到平面ABCD距离。第(1)问要求解距离PO,只需求出点P到二面角P-AD-O的棱AD的距离,及二面角P-AD-O的大小即可。第(2)问要求解二面角A-PB-C的大小,只需求出点C到二面角A-PB-C棱PB的距离及点C到半平面APB的距离即可。
解:(1)如上图,取AD的中点E,连结PE。由题意,PE⊥AD,即。
又二面角P-AD-O与二面角P-AD-B互补,所以二面角P-AD-O的大小为60°,即。于是由公式知:点P到平面ABCD的距离为
。
(2)设所求二面角A-PB-C的大小为,点C到平面PAB的距离为d。
连接BE,则BE⊥AD(三垂线定理),AD⊥平面PEB,因为AD∥BC,所以BC⊥平面PEB,BC⊥PB,即点C到二面角棱PB的距离为2,即m=2。
又因为PE=BE=,∠PEB=120°,所以在ΔPEB中,由余弦定理可求得PB=3。
取PB的中点F,连结AF,因为PA=AB=2,则AF⊥PB,,所以,即。又易求得,点P到平面ABC的距离:
。
根据等体积法,有
,
即,所以,代入公式
。
又由于面PBC⊥面PEB,所以所求二面角A-PB-C为钝二面角,所以
点评:对于这个高考试题,许多考生反映第(2)问求解困难,失分较为严重。究其原因有二:一是不能正确地作出二面角的平面角;二是在求二面角的平面角时存在计算障碍。
利用公式求解,省去了许多繁难的作图过程与逻辑论证,其优势显而易见。
例2. 已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,求点B到平面EFG的距离。
分析:欲求点B到平面GEF的距离,直接求解较困难。为此我们令平面GEF作为某二面角的一个半平面,当然二面