文档介绍：高几****题集及解答
第一章仿射几何的基本概念
1、证明线段的中点是仿射不变性,角的平分线不是仿射不变性。
证明:设T为仿射变换,根据平面仿射几何的基本定理,T可使等腰△ABC(AB=AC)与一般△A'B'C'相对应,设点D为线段BC的中点,则AD⊥BC,且β=γ,T(D)=D'
(图1)。∵T保留简比不变,
即(BCD)=(B'C'D')= -1,
∴D'是B'C'的中点。因此线段中点是仿射不变性。
∵在等腰△ABC中,β=γ。
设T( β)= β',T( γ)= γ',
但一般△A'B'C'中,过A'的中线A'D'并不平分∠A',
即B'与γ'一般不等。
∴角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC中,设D是BC的中点,则ADᅩBC,由于
T(△ABC)= △A'B'C'(一般三角形),D'仍为B'C'的中点。
由于在一般三角形中,中线A'D'并不垂直底边B'C'。得下题
2、两条直线垂直是不是仿射不变性?
答:两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明:设仿射变换T将△ABC 变为△A'B'C',D、E、F分别是BC、CA,AB边的中点。
由于仿射变换保留简比不变,所以D' =T(D),E'=T(E),F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B'
的中点,因此A'D',B'E',C'F'是△A'B'C'的三条中线(图2)。
设G是△ABC的重心,且G'=T(G)
∵G∈AD,由结合性得G '∈A'D';
又∵(AGD)=(A'G'D')即
∴G'是△A'B'C'的重心。
4、证明梯形在仿射对应下仍为梯形。
证明:设在仿射对应下梯形ABCD(AB⁄⁄CD)与四边形A'B'C'D'相对应,
由于仿射对应保持平行性不变,因此 A'B'⁄⁄C'D',所以A'B'C'D'为梯形。
5、证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形。
证明:设T为仿射变换,A1B1C1D1与A2B2C2D2为两个全等矩形,其面积分别以S1=S2。
由于T保留平行性,所以:
T(A1B1C1D1)= 平行四边形A'1B'1C'1D'1, 面积记为:S'1
T(A2B2C2D2)= 平行四边形A'2B'2C'2D'2, 面积记为:S'2,
且 S'1=K S1,S'2=KS2,
∴ A'1B'1C'1D'1与A'2B'2C'2D'2是等积的平行四边形。
6、经过A(-3,2)和B(6,1)两点的直线被直线X+3y-6=0截于P点,求简比(ABP)
解:设P点的坐标为(x0,yo)
(分割比),
且P在直线x+3y-6=0上,
解得λ=1,即P是AB中点,且(ABP)=-1。
7、证明直线Ax+By+C=0将两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的联线段分成
的比是
证明设分点为P(x0,y0),则分割比λ= ,
P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,
Ax1+By 1+C+λ(Ax2+By2+C)=0
8、证明一直线上二线段之比是仿射不变量。
证明:若直线a上两线段AB和CD经仿射变换T后与直线a'上的两段
A'B'和C'D'对应图(3)
得证。
9、证明图形的对称中心是仿射不变性,图形的对称轴和对称平面是不是仿射不变性?
证明:设仿射变换T将中心对称图形F变为图形F',点O是F的对称中心,
A,B为图形F上关于点O对称的任意一对对称点。
设T(O)=O',T(A)=A' T(B)=B'。
∵T(F)=F',由结合性,点A',B'在图形F'上;
由简比不变性,(ABO)= (A'B'O')。
所以F'是中心对称图形,从而图形的对称中心是仿射不变性。
如果点A、B关于直线l(平面π)对称,则线段AB⊥1(AB⊥π)。
但仿射变换不保留角的度量,所以当T(A)=A',T(B)=B',
T(1)=1'(T(π)=π')时,线段A'B'不一定垂直线1'(平面π')。
10、在仿射坐标系下,直线方程是一次的。
证明:设在笛氏坐标系下直线方程为: Ax+By+C=0 (1)
(x,y)为笛氏坐标,(x',y')为仿射坐标。
笛氏到仿射的变换式为:
设其逆变换为:
将(3)式代入(1),得
A(a1x'+a2y'+a0)+B (b1x'+b2y'+b0) +C=0,
即:(Aa1+Bb1)x'+(Aa2+Bb2)y'+Aa0+Bb0+C=0,
记为: 是x',y'的一次式。
其中=Aa1+Bb1, =Aa2+Bb2, =Aa0+Bb0+C0
且不全为0,若不然,Aa1+Bb1=0,Aa2+Bb2=0
11、利用仿射变换式