文档介绍：2-3 无穷小量与微分
1. 无穷小量的概念
简单地说:以零为极限的变量称为无穷小量.
定义
如果函数当时的极限为零,
那么称函数为当时的无穷小量.
特别地,以零为极限的序列称为时的无
穷小量.
例如
无穷小量的比较:
都是无穷小,
引例.
但
可见无穷小量趋于 0 的速度是多样的.
定义.
若
若
若
若
若
或
设
是自变量同一变化过程中的无穷小量,
记作
则称是比高阶的无穷小量,
记作
则称是比低阶的无穷小量;
则称与为同阶无穷小量;
则称是关于的 k 阶无穷小量;
则称是的等价无穷小量,
例 1
~
~
例 2
当
时,
例 4
时,
当
是的三阶无穷小量.
因为
所以
时,
当
是的三阶无穷小量.
故
时
是关于 x 的二阶无穷小量,且
例 3
~
设, 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且
是的高阶无穷小
是的低阶无穷小
是的同阶无穷小
是的等价无穷小
是的 k 阶无穷小
无穷小的比较小结
无穷小量与无穷大量的关系
若
为无穷大量,
为无穷小量;
若
为无穷小量, 且
则
则
(自证)
当时,
为无穷大量.
据此结论, 关于无穷大量的问题都可转化为
无穷小量来讨论.
说明:
2. 微分的概念
我们考察量
这时,当时也是无穷小量.
于是得到
可以写成
由此可见,当很小时, 可以用近似地代替.
以上是在在点可导的条件下进行讨论的.
如果
不考虑可导这个条件,
即,当在点可导时,函数值的改变量
何时在处的改变量可以写成
其中为常数.
根据前面的讨论,当在点可导时,上式成
立,且
反过来,假定上式成立,上式两边同除以,并令
取极限,得
可见,函数在可导,且
定义:
的微分,
若函数
在点的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数
而称为
记作
即
函数
在点可微的充要条件是
即
在点
可微,
微分是函数改变量的线性主要部分.